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hallo,
Die Ableitung der Potenzreihe [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^n
[/mm]
ist ja
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}{n * a_{n}(x-a)^{n-1}}
[/mm]
Meine Frage ist nun was das Integral von f(x) ist.
Ist das richtig:
[mm] \integral [/mm] f(x) dx = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n} * a_{n}(x-a)^{n+1}}
[/mm]
??
danke im vorraus :)
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Hallo nixchecker !
> Ist das richtig: [mm]\integral[/mm] f(x) dx = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n} * a_{n}(x-a)^{n+1}}[/mm]
Fast ... Gemäß  Potenzregel beim Integrieren muß es ja heißen:
[mm] $\integral{x^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n\red{+1}}*x^{n+1} [/mm] \ [mm] \red{+ \ C}$
[/mm]
Also (beim unbestimmten Integral) die Integrationskonstante C nicht vergessen!
Damit wird: [mm]\integral{ f(x) \ dx } \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}{\left[\bruch{1}{n+1} * a_{n}*(x-a)^{n+1}\right]} \ + \ C[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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da wir ja in einem matheforum sind, wollen wir das auch genau behandeln:
es gibt da einen satz:
seien [mm] f_n:[a,b]->\IR [/mm] stetige funktionen mit n [mm] \in \IN. [/mm] diese folge konvergiere gleichmäßig(!) auf [a,b] gegen eine funktion [mm] f:[a,b]->\IR, [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \limes_{n -> \infty} \integral_{a}^{b} {f_n(x) dx}
[/mm]
das heisst du musst garantieren dass deine potenzreihe auf dem kompakten intervall auf dem du integrierst glm. konvergiert, dann kannst du sozusagen gliedweise integrieren...
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