Potenzreihe Taylorreihe tanh < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 07.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich muss eine Potenzreihenentwicklung fuer die Funktion
[mm] $\mathrm{tanh}(x)$ [/mm] mit [mm] $x\in\IR$
[/mm]
zu einem beliebigen Entwicklungspunkt [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] berechnen. Wie mache ich das? Dazu werden die $n$-ten Ableitungen dieser Funktion benoetigt, die die Bernoulli-Zahlen und Euler-Zahlen enthalten. Wie berechne ich diese, oder wo kann ich es nachlesen? Anschliessend muss ich den Konvergenzradius in jedem beliebigen Punkt berechnen, was dann hoffentlich nicht das Problem sein sollte.
Danke und Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke für die Antwort. Die Ableitungen kann ich nun per Induktion herleiten.
Wie aber bestimme ich den Konvergenzradius der Potenzreihe von [mm] $\tanh$ [/mm] in einem beliebigen Entwicklungspunkt [mm] $z_0\in\IC$? [/mm] Da [mm] $\tanh$ [/mm] in den Punkten [mm] $\pm\frac{\pi i}{2}$ [/mm] Singularitäten besitzt, muss der Konvergenzradius irgendwie
[mm] $\rho=\max\{|z_0-\frac{\pi i}{2}|,|z_0+\frac{\pi i}{2}|\}$
[/mm]
sein. Aber wie komme ich darauf?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo denny
im ersten post ist von tanh(x) x [mm] \in \IR [/mm] die rede. jetzt auf einmal z? Was ist jetzt die Aufgabe
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:10 Di 12.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich meine natuerlich [mm] $x\in\IR$. [/mm] Sorry! Die exakte Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass [mm] $\tanh(x):=\frac{e^{2x}-1}{e^{-2x}+1}$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] reell-analytisch ist und bestimmen Sie den Konvergenzradius ihrer Taylorreihe um jeden beliebigen Punkt [mm] $x_0\in\IR$.
[/mm]
"reell-analytisch in [mm] $x_0$" [/mm] bedeutet meines Wissens nach, dass wir diese Funktion in eine konvergente Potenzreihe um [mm] $x_0$ [/mm] entwickeln koennen.
Meine Idee:
1. Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$ [/mm] herleiten
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}$
[/mm]
wobei
[mm] $a_n=\frac{\tanh^{(n)}(x_0)}{n!}$
[/mm]
Dazu muessen wir per Induktion die Ableitungen von [mm] $\tanh(x)$ [/mm] berechnen. ($E(n,k)$ Eulersche Zahlen)
[mm] $\tanh^{(n)}(x_0)=\frac{2^{n+1}e^{2x_0}}{(1+e^{2x_0})^{n+1}}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}E(n,k)\cdot(-1)^k\cdot e^{2kx_0}$
[/mm]
Zum Beispiel erhalten wir im Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$ [/mm] die Potenzreihe [mm] ($B_{2n}$ [/mm] Bernoulli Zahlen)
[mm] $\tanh(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}$
[/mm]
2. Die Konvergenzradien [mm] $\rho$ [/mm] mithilfe der Quotientenformel bestimmen: Da [mm] $\tanh(x)$ [/mm] (im Komplexen betrachtet) in den Punkten [mm] $\pm\frac{\pi i}{2}$ [/mm] Singularitaeten besitzt (und nur dort!), muesste ich als Konvergenzradius folgendes erhalten:
$ [mm] \rho=\max\{|x_0-\frac{\pi i}{2}|,|x_0+\frac{\pi i}{2}|\} [/mm] $
Ist diese Vorgehensweise richtig? Gibt es auch einen anderen Weg diese Aufgabe zu loesen?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Reihe fehlt ein [mm] (-1)^{n-1} [/mm] und es ist [mm] B_n [/mm] nicht [mm] B_{2n}
[/mm]
Mit dem Rest hast du Recht.
einen einfacheren Weg fuer den Konvradius seh ich nicht, lass aber die frage auf halb offen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 16.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus