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Hallo,
ich möchte den Konvergenzradius von [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} x^n [/mm] berechnen - ohne Benutzung des Satzes von Hadamard - und habe gerade mal wieder ein dickes Brett vor dem Kopf.
Kann ich da mit dem Wurzelkriterium vorgehen? Also
[mm] \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = 1
Oder ist dieser Ansatz so schon falsch?
Danke!
Anna
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Hallo,
> ich möchte den Konvergenzradius von [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} x^n[/mm]
> berechnen - ohne Benutzung des Satzes von Hadamard - und
> habe gerade mal wieder ein dickes Brett vor dem Kopf.
> Kann ich da mit dem Wurzelkriterium vorgehen? Also
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] = 1
>
> Oder ist dieser Ansatz so schon falsch?
Wenn ich dich richtig verstehe, willst du nicht die Formeln zum Berechnen des Konvergenzradius benutzen, sondern die Reihenkonvergenzkriterien.
Da kannst du durchaus das Wurzelkriterium benutzen. Allerdings verwendest du es falsch. Bei den Konvergenzkriterien musst du ja den gesamten "Reiheninhalt" (also hier [mm] \frac{1}{n}*x^{n} [/mm] ) benutzen.
Also:
[mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}*x^{n}} [/mm] = |x|$.
Also ist für $|x| < 1$ die Reihe konvergent, und für |x|=1 macht das Kriterium keine Aussage, für |x|>1 ist die Reihe divergent.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
danke für Deine Antwort.
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> > ich möchte den Konvergenzradius von [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} x^n[/mm]
> > berechnen - ohne Benutzung des Satzes von Hadamard - und
> > habe gerade mal wieder ein dickes Brett vor dem Kopf.
> > Kann ich da mit dem Wurzelkriterium vorgehen? Also
> >
> > [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] = 1
> >
> > Oder ist dieser Ansatz so schon falsch?
>
> Wenn ich dich richtig verstehe, willst du nicht die Formeln
> zum Berechnen des Konvergenzradius benutzen, sondern die
> Reihenkonvergenzkriterien.
> Da kannst du durchaus das Wurzelkriterium benutzen.
> Allerdings verwendest du es falsch. Bei den
> Konvergenzkriterien musst du ja den gesamten "Reiheninhalt"
> (also hier [mm]\frac{1}{n}*x^{n}[/mm] ) benutzen.
>
> Also:
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}*x^{n}} = |x|[/mm].
>
> Also ist für [mm]|x| < 1[/mm] die Reihe konvergent, und für |x|=1
Wie kommst Du jetzt hier auf 1? Ich meine, mir ist klar, dass der Konvergenzradius = 1 ist, aber wie bist Du da jetzt "rechnerisch" durch das Wurzelkriterium drauf gekommen? Das sehe ich gerade nicht...
> macht das Kriterium keine Aussage, für |x|>1 ist die Reihe
> divergent.
>
Gruß
Anna
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Hallo!
> > Also:
> >
> > [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}*x^{n}} = |x|[/mm].
>
> >
> > Also ist für [mm]|x| < 1[/mm] die Reihe konvergent, und für |x|=1
>
> Wie kommst Du jetzt hier auf 1? Ich meine, mir ist klar,
> dass der Konvergenzradius = 1 ist, aber wie bist Du da
> jetzt "rechnerisch" durch das Wurzelkriterium drauf
> gekommen? Das sehe ich gerade nicht...
Das ist die Aussage des Wurzelkriteriums!
Du hast die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$
[/mm]
Wenn
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} [/mm] < 1$,
dann ist die Reihe konvergent, wenn
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} [/mm] > 1$,
dann ist die Reihe divergent. Das hier so viele Einsen vorkommen, macht das Ganze etwas undurchsichtig 
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
>
> > > Also:
> > >
> > > [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{1}{n}*x^{n}} = |x|[/mm].
>
> >
> > >
> > > Also ist für [mm]|x| < 1[/mm] die Reihe konvergent, und für |x|=1
> >
> > Wie kommst Du jetzt hier auf 1? Ich meine, mir ist klar,
> > dass der Konvergenzradius = 1 ist, aber wie bist Du da
> > jetzt "rechnerisch" durch das Wurzelkriterium drauf
> > gekommen? Das sehe ich gerade nicht...
>
> Das ist die Aussage des Wurzelkriteriums!
Oha. Klar. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Ich sage ja: Brett.
> Du hast die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm]
> Wenn
>
> [mm]\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} < 1[/mm],
>
> dann ist die Reihe konvergent, wenn
>
> [mm]\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} > 1[/mm],
>
> dann ist die Reihe divergent. Das hier so viele Einsen
> vorkommen, macht das Ganze etwas undurchsichtig
Danke, dass Du von meinem Brett vor dem Kopf ablenken willst 
Aber wie kommt man da jetzt auf den Konvergenzradius, der ist ja
r = [mm] \bruch{1}{|x|} [/mm] für alle |x| < 1 da die Reihe für |x| < 1 konvergent ist.
Aber ich dachte eigentlich, er wäre 1
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
> Aber wie kommt man da jetzt auf den Konvergenzradius, der
> ist ja
> r = [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm] für alle |x| < 1 da die Reihe für
> |x| < 1 konvergent ist.
> Aber ich dachte eigentlich, er wäre 1
>
Wie kommst du auf die Formel $r = [mm] \frac{1}{|x|}$ [/mm] ?
Ich hoffe, du hast jetzt nicht versucht, unsere Erkenntnisse bzgl. des Wurzelkriteriums in das Cauchy-Hadamard-Kriterium einzusetzen! Bedenke, dass bei Cauchy-Hadamard das " [mm] x^{n} [/mm] " nicht mitbehandelt wird, also von einem ganz anderem Term die Rede ist.
Ansonsten kennen wir den Konvergenzradius jetzt doch bereits:
Das Wurzelkriterium hat uns geliefert, dass die Reihe für $|x| < 1$ konvergiert.
Da die Reihe eine Potenzreihe um 0 ist, ist der Konvergenzradius als 1.
(Die Reihe konvergiert in (0-1,0+1) = (0-r,0+r)).
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 So 21.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Stefan,
> > Aber wie kommt man da jetzt auf den Konvergenzradius, der
> > ist ja
> > r = [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm] für alle |x| < 1 da die Reihe für
> > |x| < 1 konvergent ist.
> > Aber ich dachte eigentlich, er wäre 1
> >
>
> Wie kommst du auf die Formel [mm]r = \frac{1}{|x|}[/mm] ?
> Ich hoffe, du hast jetzt nicht versucht, unsere
> Erkenntnisse bzgl. des Wurzelkriteriums in das
> Cauchy-Hadamard-Kriterium einzusetzen! Bedenke, dass bei
> Cauchy-Hadamard das " [mm]x^{n}[/mm] " nicht mitbehandelt wird, also
> von einem ganz anderem Term die Rede ist.
Oh wie peinlich. Ich glaube ich muss mal Pause machen.
> Ansonsten kennen wir den Konvergenzradius jetzt doch
> bereits:
> Das Wurzelkriterium hat uns geliefert, dass die Reihe für
> [mm]|x| < 1[/mm] konvergiert.
> Da die Reihe eine Potenzreihe um 0 ist, ist der
> Konvergenzradius als 1.
>
> (Die Reihe konvergiert in (0-1,0+1) = (0-r,0+r)).
Ja, logisch. Danke!!
Gruß
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Gänzlich ohne Hadamard:
Sei gegeben
(*) $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n} x^n [/mm] $
Dir ist sicher bekannt, dass die Reihe in (*) für x =1 divergiert und für x=-1 konvergiert. Sei r der Konvergenzradius von (*).
Annahme: r<1. Dann muß die Potenzreihe in x=-1 divergieren, Widerspruch !
Annahme : r>1: Dann muß die Potenzreihe in x=1 konvergieren, Widerspruch !
Fazit: r=1
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Di 23.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Fred,
DANKE für Deine Antwort. So kann man das natürlich auch angehen. Noch besser Danke für Deine Hilfe!
Gruß
Anna
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