Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 18.07.2006 | | Autor: | chmanie |
| Aufgabe | Bei folgenden Funktionenreihen bestimme man jeweils die Menge derjenigen Punkte der reellen Geraden, in denen die Reihe konvergiert:
(d)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{e^{k*(3x+1)}}{k^2} [/mm] |
Hi nochmal! Hier habe ich eine Potenzreihe vorliegen, zu der ich leider überhaupt keinen Ansatz finde, da hier das x in eine Funktion eingebaut wurde. Ich weiß, daß z.B. [mm] (x-3)^k [/mm] eine Verschiebung des Mittelpunkts des Radius um 3 nach rechts bewirkt (allerdings auch nicht warum). Hier ist das ganze jedoch viel komplexer.
Vielleicht wisst ihr Rat.
Danke,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Grüße!
Naja, da kann man doch ganz elementar herangehen...
In Abhängigkeit von $x$ ist [mm] $a_k$ [/mm] definiert durch [mm] $a_k(x) [/mm] = [mm] \frac{e^{k \cdot (3x + 1)}}{k^2}$.
[/mm]
Falls $3x + 1 > 0$, also falls $x > - [mm] \frac{1}{3}$, [/mm] dann geht [mm] $a_k(x)$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$ [/mm] auch gegen [mm] $\infty$, [/mm] die unterliegende Folge ist also keine Nullfolge und daher divergiert die Reihe.
Für $x = - [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] fällt der Term im Zähler weg und die Reihe ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$, [/mm] welche bekanntlich konvergiert.
Und für $x < - [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] kann die entstehende Reihe durch eben diese majorisiert werden, konvergiert also ebenso. Zusammengefasst ist die Reihe (die keine Potenzreihe ist!) konvergent auf der Menge [mm] $\left] - \infty, -\frac{1}{3}\right]$.
[/mm]
Alles klar?
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 18.07.2006 | | Autor: | chmanie |
Ja, danke! Alles klar!
|
|
|
|
