Potenzreihe-Konv.-radius,Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 09.06.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Bestimme Konvergenzradius und Summe der folgenden Potenzreihen:
a) x - [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5} [/mm] - [mm] \bruch{x^7}{7} \pm \ldots
[/mm]
b) x + [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{4} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] |
Hallo!
Meine Aufgabe ist es also die Konvergenzradien und die Summe der Potenzfolgen zu berechnen.
ad a)
Ich habe mir die Reihe also angesehen und bekomme folgende Darstellung heraus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] * [mm] (x-x_0)^n
[/mm]
bzw.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
nun sieht man leicht für den Koeffizienten [mm] a_n [/mm] dass [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] ist.
Jetzt sieht man sich die einzelnen Koeffizienten für n = 0,1,2,... an.
[mm] a_0 [/mm] = 0, [mm] a_1 [/mm] = 1, [mm] a_2 [/mm] = 0, [mm] a_3 [/mm] = -1/3, [mm] a_4 [/mm] = 0, [mm] a_5 [/mm] = 1/5, [mm] a_6 [/mm] = 0, [mm] a_7 [/mm] = -1/7 etc
Wenn man nun den Betrag ansieht und Cauchy Hadamard anwendet sieht man, dass
[mm] \wurzel[n]{| a_n |} [/mm] gegen 1 geht
damit bekommt man also 2 Häufungspunkte nämlich 0 und 1.
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{| a_n |}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
wie berechnet man nun die Summe??
Habe nichts in meinem Skriptum gefunden.
Die 2te Aufgabe möchte ich später rechnen - ich möchte zuerst wissen, wie man die Summe berechnet. Nur eine kurze Frage: ist die Vorgangsweise bei der 2ten Aufgabe identisch?
lg
uniklu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Differenziere
x - $ [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x^5}{5} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x^7}{7} \pm \ldots [/mm] $
gliedweise. Dies führt auf eine geometrische Reihe, deren Summenformel Du sicher kennst.
Anschließend integrieren.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mi 10.06.2009 | | Autor: | uniklu |
Danke!
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