Potenzmenge der endl.Teilmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Di 02.11.2004 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich muss für die Uni folgendes lösen:
Sei [mm] Pot_{endl}(N) [/mm] die Menge der endlichen Teilmengen von N. Konstruiere eine Bijektion [mm] Pot_{endl}(N) \to \IZ \ge [/mm] 0. Was ist das Urbild 0 bzw. 455 unter dieser Bijektion ? Hinweis: Benutze die charakteristische Funktion für Teilmengen und interpretiere die Folge(ai) [mm] \in {0,1}^{M} [/mm] als Dualzahlenentwicklung [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] 2 + [mm] a_{3} [/mm] * [mm] 2^{2} [/mm] + ... + [mm] a_{i}2^{i-1} [/mm] + ... einer ganzen Zahl. Warum liegt eine Komposition von Abbildungen vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo MrPink!
Betrachtet wird also die folgende Abbildung:
[mm] $\varphi: \begin{array}{ccc} Pot_{endl}(\IN) & \to & \IZ \\[5pt] M & \mapsto & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i \cdot 2^i \end{array}$
[/mm]
mit
[mm] $a_i= \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & , & \mbox{falls} \ i \in M,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst}, \end{array} \right.$
[/mm]
für alle $i [mm] \in \IN$.
[/mm]
Du musst nun zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] eine Bijektion darstellt, dass also [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv und surjektiv ist.
Versuche das bitte mal. 
Man kann [mm] $\varphi$ [/mm] wie folgt also Komposition auffassen:
[mm] $\begin{array}{ccccc} Pot_{end}(\IN) & \to & \{0,1\}_{endl}^{\IN} & \to & \IZ\\[5pt] M & \mapsto & (a_i)_{i \in \IN} & \mapsto & \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i \cdot 2^i \end{array}$.
[/mm]
wobei [mm] $\{0,1\}_{endl}^{\IN}$ [/mm] die Menge aller Folgen mit Werten in [mm] $\{0,1\}$ [/mm] ist, bei denen alle bis auf endlich viele Folgenglieder gleich $0$ sind.
Liebe Grüße
Julius
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