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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 24.01.2006 | | Autor: | schorse |
| Aufgabe | Gegeben sind die kompllexen Zahlen z=2+i und w=-1+2i. Wie lauten die folgenden Ausdrücke in kartesischer Darstellung und welchen Wert haben Betrag und Argument der Eulerschen Darstellung?
v= [mm] z^{4} [/mm] |
Hallo meine freundlichen Helfer,
Folgendes Problem: Beim Potenzieren von komplexen Zahlen sagt mir mein Formelbuch folgende Gleichung an:
[mm] z^{n}= [/mm] (r(cos [mm] \gamma+i [/mm] sin [mm] \gamma))^{n}
[/mm]
Für z= 2+i kann ich mir doch den Btrag und den Winkel durch:
r= [mm] \wurzel{2²+1²}= \wurzel{5} [/mm] und [mm] \gamma= [/mm] arccos 2/ [mm] \wurzel{5}
[/mm]
ausrechnen oder?
Wenn ich diese Werte allerdings in [mm] z^4 [/mm] einsetze, komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Das Ergebnis soll lauten:v= -7+24i
Bitte um schnelle Hilfe. Weiß nämlich nicht genau, ob mein Taschenrechner falsch eingestellt ist oder ich einfach nur zu blöd bin!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi, ich würds "stur" direkt ausrechnen, ohne den Umweg der Darstellung in Polarkoordinaten.
Mit Hilfe der 1. Binomischen Formel erhältst du so ganz leicht:
[mm] z^4 = (2+i)^4 = [(2+i)^2]^2 = (4 + 4i -1)^2 = (3 + 4i)^2 = (9 + 24 i -16) = -7 + 24 i [/mm]
und für w entsprechend ;)
Nun ist der Betrag dieser Zahl [mm] \wurzel{7^2 + 24^2} = \wurzel{49 + 576} = \wurzel{625} = 25[/mm]
Und das Argument ist wegen
[mm] z = |z| ( cos \phi + i sin \phi)
<=> Re (\bruch{z}{|z|}) = cos \phi
<=> ArcCos ( Re (\bruch{z}{|z|}) ) = \phi [/mm]
Also [mm]\phi = ArcCos[\bruch{7}{25}] =\approx 1.287 [/mm]
gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 24.01.2006 | | Autor: | schorse |
ja vielen Dank, nach nochmaligem Überlegen bin ich auch darauf gekommen es so zu probieren. Allerdings frage ich mich ob das der einzige Lösungsweg ist. bei z.B.z^12 wird das ja ganz schön mühselig.
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Hallo schorse!
Nein, da geht es natürlich viel schneller mit der Moivre-Formel (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier):
[mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] \left(r*e^{i*\varphi}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left(e^{i*\varphi}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*e^{i*n*\varphi} [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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