Potenzen als Basis vom k^{n+n} < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 06.05.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Sei A aus [mm] k^{n \times n} [/mm] eine Diagolanmatrix mit n verschiedenen Diagonaltermen und B die Begleitmatrix zu [mm] X^n [/mm] - 1. B ist also eine permutationsmatrix.
a) Dann sind die potenze [mm] A^{i}B^{j} [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n eine Basis von [mm] k^{n \times n}.
[/mm]
b) Es gibt keinen echten Unterraum U, der unter A und B stabil ist. |
Habe ein kleines problem mit dieser Aufgabe.
Zu b habe ich den Tip bekommen einen Wiederspruchsbeweis zu führen und dabei die a zu verwenden.
Jetzt glaube ich aber ein Beispiel gefunden zu haben, dass Teil a) nicht gilt.
und zwar für den [mm] k^{2 \times 2}
[/mm]
Sei A= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] dann ist A doch eine Diagolnalmatrix mit den beiden voneinander verschiedenen Diagonalthermen 1 und 0 oder nicht?
B= [mm] B(x^2 [/mm] -1) = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \rightarrow
[/mm]
AB = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] A^{2}B [/mm]
[mm] AB^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] A^{2}B^2
[/mm]
aber AB, [mm] A^{2}B, AB^2, A{2}B^2 [/mm] sind doch keine Basis von [mm] k^{2 \times 2}
[/mm]
Habe mir überlegt, dass es daran liegen könnte, dass 1 [mm] \le [/mm] i,j und nicht 0 [mm] \le [/mm] i,j in der Aufgabenstellung steht denn im zweiten Fall müsste das ganze Funktionieren zumindest eher als sorum
Wenn ich dann jetzt die b) versuche zu zeigen,
heißt dann "unter A und B stabil", doch auch, dass wenn S [mm] \in [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] AS [mm] \in [/mm] U und BS [mm] \in [/mm] U und [mm] A^{i}B^{j}S [/mm] in U für i,j wie in a oder nicht?
Das heißt ich müsste dann im Prinzip versuchen für Teil b) das gleiche wie für Teil a) nur halt mit 0 [mm] \le [/mm] i,j zu zeigen oder?
Bin etwas verwirrt und würde mich über etwas Hilfe freuen
mfg Neli
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Neli!
> Sei A aus [mm]k^{n \times n}[/mm] eine Diagolanmatrix mit n
> verschiedenen Diagonaltermen und B die Begleitmatrix zu [mm]X^n[/mm]
> - 1. B ist also eine permutationsmatrix.
> a) Dann sind die potenze [mm]A^{i}B^{j}[/mm] mit 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n
> eine Basis von [mm]k^{n \times n}.[/mm]
> b) Es gibt keinen echten
> Unterraum U, der unter A und B stabil ist.
> Habe ein kleines problem mit dieser Aufgabe.
> Zu b habe ich den Tip bekommen einen Wiederspruchsbeweis
> zu führen und dabei die a zu verwenden.
> Jetzt glaube ich aber ein Beispiel gefunden zu haben, dass
> Teil a) nicht gilt.
>
> und zwar für den [mm]k^{2 \times 2}[/mm]
> Sei A= [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> dann ist A doch eine Diagolnalmatrix mit den beiden
> voneinander verschiedenen Diagonalthermen 1 und 0 oder
> nicht?
Genau.
> B= [mm]B(x^2[/mm] -1) = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm]
> AB = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]A^{2}B[/mm]
> [mm]AB^2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]A^{2}B^2[/mm]
> aber AB, [mm]A^{2}B, AB^2, A{2}B^2[/mm] sind doch keine Basis von
> [mm]k^{2 \times 2}[/mm]
Exakt.
> Habe mir überlegt, dass es daran liegen könnte, dass 1 [mm]\le[/mm]
> i,j und nicht 0 [mm]\le[/mm] i,j in der Aufgabenstellung steht denn
> im zweiten Fall müsste das ganze Funktionieren zumindest
> eher als sorum
Nein, die Indices sind schon OK. Ansonsten bekommst du ja [mm] $(n+1)^2$ [/mm] Elemente, und das kann keine Basis sein (da [mm] $\dim_k k^{n \times n} [/mm] = [mm] n^2$ [/mm] ist)!
Ich schaetze mal, dass auf der Diagonalen der Diagonalmatrix alle Eintraege zusaetzlich [mm] $\neq [/mm] 0$ sein muessen.
> Wenn ich dann jetzt die b) versuche zu zeigen,
> heißt dann "unter A und B stabil", doch auch, dass wenn S
> [mm]\in[/mm] U [mm]\rightarrow[/mm] AS [mm]\in[/mm] U und BS [mm]\in[/mm] U und [mm]A^{i}B^{j}S[/mm] in
> U für i,j wie in a oder nicht?
Ich habe ein Frage zu b): Ist ein Unterraum von [mm] $k^n$ [/mm] oder ein Unterraum von [mm] $k^{n \times n}$ [/mm] gemeint?
Im ersten Fall musst du zeigen, dass es zu einem echten Teilraum $U [mm] \subseteq k^n$ [/mm] immer eine Matrix $C [mm] \in k^{n \times n}$ [/mm] gibt mit $C U [mm] \not\subseteq [/mm] U$. Dann zeige, dass dies nicht der Fall sein kann, wenn $A U [mm] \subseteq [/mm] U$ und $B U [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt.
Im zweiten Fall ist die Frage, was `stabil unter $A$ und $B$' genau heisst.
> Das heißt ich müsste dann im Prinzip versuchen für Teil b)
> das gleiche wie für Teil a) nur halt mit 0 [mm]\le[/mm] i,j zu
> zeigen oder?
Ich denke nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 06.05.2006 | | Autor: | neli |
Da vorher von einer Basis vom [mm] k^{n \times n} [/mm] die Rede war denke ich es ist auch ein unterraum vom [mm] k^{n \times n} [/mm] gemeint
Stabil unter A und B müsste dann ja vermutlich heißen, dass es unter den verschiedenen Kombinationen der Potenzen von A und B stabil ist also
[mm] A^{i}B^{j}S \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] i,j mit 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n und [mm] \forall [/mm] S [mm] \in [/mm] U
Habe aber keine Ahnung wie ich das zeigen sollte
wenn die a) gilt klingt es für mich relativ plausiebel, dass es keinen echten Unterraum gibt, der unter der Basis stabil ist weil die ja irgendwo den ganzen [mm] k^{n \times n} [/mm] erzeugt aber weiß jetzt nicht so genau wie ich das zeigen könnte vorallem da mir die a) ja nicht zur verfügung steht weil ich ja sage die ist falsch 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Neli!
> Da vorher von einer Basis vom [mm]k^{n \times n}[/mm] die Rede war
> denke ich es ist auch ein unterraum vom [mm]k^{n \times n}[/mm]
> gemeint
Nein, das ist es nicht, dazu haette ich dann ein Gegenbeispiel (siehe weiter unten).
> Stabil unter A und B müsste dann ja vermutlich heißen,
> dass es unter den verschiedenen Kombinationen der Potenzen
> von A und B stabil ist also
> [mm]A^{i}B^{j}S \in[/mm] U [mm]\forall[/mm] i,j mit 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n und
> [mm]\forall[/mm] S [mm]\in[/mm] U
Es heisst das nicht, aber es impliziert das. Erstmal heisst es nur $A S, B S [mm] \in [/mm] U$ fuer alle $S [mm] \in [/mm] U$.
> Habe aber keine Ahnung wie ich das zeigen sollte
> wenn die a) gilt klingt es für mich relativ plausiebel,
> dass es keinen echten Unterraum gibt, der unter der Basis
> stabil ist weil die ja irgendwo den ganzen [mm]k^{n \times n}[/mm]
> erzeugt aber weiß jetzt nicht so genau wie ich das zeigen
> könnte vorallem da mir die a) ja nicht zur verfügung steht
> weil ich ja sage die ist falsch
Sei $n > 1$. Sei $U := [mm] \{ (a_{ij})_{ij} \in k^{n \times n} \mid a_{i1} = 0 \text{ fuer } i = 1, \dots, n \}$, [/mm] also die Menge aller $n [mm] \times [/mm] n$-Matrixen ueber $k$, deren erste Spalte komplett $0$ ist. Dies ist ein echter, nichtleerer Teilraum von [mm] $k^{n \times n}$. [/mm] Ist $M [mm] \in k^{n \times n}$ [/mm] beliebig und $S [mm] \in [/mm] U$, so gilt jedoch $M S [mm] \in [/mm] U$! Also ist $U$ insbesondere unter den Matrizen $A$ und $B$ stabil!
Also kann das nicht gemeint sein.
Die einzige andere (uebrigbleibende) Moeglichkeit ist also $U [mm] \subseteq k^n$, [/mm] und $U$ stabil unter $A, B [mm] \Leftrightarrow [/mm] A x, B x [mm] \in [/mm] U$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$.
Um die Behauptung in diesem Kontext zu zeigen, musst du wissen, dass es zu je zwei Vektoren $v, w [mm] \in k^n$ [/mm] (mindestens) eine Matrix $M [mm] \in k^{n \times n}$ [/mm] gibt mit $M v = w$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 09.05.2006 | | Autor: | neli |
Aufgabenstellung wurde korrigiert, so dass wir das ganze jetzt für
0 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n-1 zeigen müssen
um zu zeigen, dass das eine Basis ist reicht ja im Prinzip zu zeigen, dass die Elemente linearunabhängig sind, (da die Anzahl schon immer der Dimension entspricht) nun sind die Potenzen von B sehr offensichtlich linerarunabhängig, weil ja quasie jede Stelle [mm] a_{ij} [/mm] jeweils nur einmal "getroffen" wird. Das heißt ja dass es im Prinzip reichen müsste zu zeigen, dass [mm] A^0,A^1,.....,A^{n-1} [/mm] linear unabhängig sind
nun habe ich aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll
habe schon mal an induktion gedacht und für n=3 habe ich das ganze auch schon einmal durchgerechnet.
Aus [mm] \alpha_{0}*A^0 [/mm] + [mm] \alpha_{1}*A [/mm] + ....+ [mm] \alpha_{n-1}*A^{n-1} [/mm] = 0
folgt das Gleichungssystem:
[mm] \alpha_{0}*\lambda_{1}^0 [/mm] + [mm] \alpha_{1}*\lambda_{1} [/mm] + ....+ [mm] \alpha_{n-1}*\lambda_{1}^{n-1} [/mm] = 0
[mm] \alpha_{0}*\lambda_{2}^0 [/mm] + [mm] \alpha_{1}*\lambda_{2} [/mm] + ....+ [mm] \alpha_{n-1}*\lambda_{2}^{n-1}
[/mm]
.
.
.
[mm] \alpha_{0}*\lambda_n^0 [/mm] + [mm] \alpha_{1}*\lambda_{n} [/mm] + ....+ [mm] \alpha_{n-1}*\lambda_{n}^{n-1}
[/mm]
wenn ich jetzt irgendwie darauf kähme, dass [mm] \alpha_{n-1} [/mm] = 0 ist, dann wüsste ich ja aufjedenfall schon mal das die restlichen auch Null sind
aber ich weiß nicht wie ich das Gleichungssystem allgemein lösen sollte
habe also keine Ahnung wie ich hier weiterkommen könnte
zum Teil b) hätte ich dann im Prinzip auch nur noch die Frage ob ich das zeigen muss, dass es für je zwei Vektoren v,w so eine Matrix M gibt mit Mv=w? weil ich finde das irgendwie ziemlich klar das es die geben sollte aber weiß nicht ob man das so einfach verwenden darf oder nicht
ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen
Dankeschön schon mal für die Bemühungen bis hier hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aufgabenstellung wurde korrigiert, so dass wir das ganze
> jetzt für
> 0 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n-1 zeigen müssen
> um zu zeigen, dass das eine Basis ist reicht ja im Prinzip
> zu zeigen, dass die Elemente linearunabhängig sind, (da die
> Anzahl schon immer der Dimension entspricht)
Genau.
> nun sind die
> Potenzen von B sehr offensichtlich linerarunabhängig, weil
> ja quasie jede Stelle [mm]a_{ij}[/mm] jeweils nur einmal "getroffen"
> wird. Das heißt ja dass es im Prinzip reichen müsste zu
> zeigen, dass [mm]A^0,A^1,.....,A^{n-1}[/mm] linear unabhängig sind
Etwas genauer: Wenn du eine Gleichung [mm] $\sum_{i,j} \mu_{ij} A^i B^j [/mm] = 0$ hast, dann folgt daraus schon [mm] $C_j [/mm] := [mm] \sum_i \mu_{ij} A^i [/mm] = 0$ fuer jedes $j$, da [mm] $C_j$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist und die [mm] $B^j$ [/mm] die Diagonale alle woanders hinschieben (das musst du noch etwas genauer formulieren wenn du das aufschreibst  ).
> nun habe ich aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll
Kennst du die ![[]](/images/popup.gif) Van-der-Monde-Matrix und deren Determinante?
Ansonsten: Dies ist aequivalent dazu, dass ein Polynom vom Grad $n-1$ mit $n$ (verschiedenen) Nullstellen konstant Null ist. Du musst nur das passende Polynom vom Grad $n-1$ angeben.
> [mm]\alpha_{0}*\lambda_{1}^0[/mm] + [mm]\alpha_{1}*\lambda_{1}[/mm] + ....+
> [mm]\alpha_{n-1}*\lambda_{1}^{n-1}[/mm] = 0
Das ist ja grad [mm] $f(\lambda_1) [/mm] = 0$ fuer $f(x) = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i x^i$.
[/mm]
> zum Teil b) hätte ich dann im Prinzip auch nur noch die
> Frage ob ich das zeigen muss, dass es für je zwei Vektoren
> v,w so eine Matrix M gibt mit Mv=w? weil ich finde das
> irgendwie ziemlich klar das es die geben sollte aber weiß
> nicht ob man das so einfach verwenden darf oder nicht
Im Zweifelsfall beweise es. Oder gib eine Beweisskizze. Stichwort: Basisergaenzungssatz. Wenn $v = 0$ ist (und somit auch $w = 0$) ist es klar. Und wenn $w = 0$ ist auch. Also sei $w [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] v$. Wende den Basisergaenzungssatz auf die l.u. Systeme [mm] $\{ v \}$ [/mm] und [mm] $\{ w \}$ [/mm] an.
LG Felix
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