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Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mo 23.12.2013
Autor: headbanger

Aufgabe
<br>
Für welche natürlichen Zahlen a und n lässt sich[mm]a ^ (^-^n^)[/mm] als abbrechender dezimalbruch schreiben?


<br>
guten weihnachtlichen vorabend liebe mathematiker,

ich hab zwar ehrlich gesagt nicht viel ahnung was ein abbrechender dezimalbruch ist =) aber meine überlegungen sind folgendermaßén:

1)

[mm] \IN[/mm]={1,2,3...} alle positiven ganzen zahlen ausser 0

also darf a als Basis nicht Null sein =)
[mm]a \neq 0[/mm]
aber null ist ja keine natürliche zahl laut definition... - hier also mein erster gedanklicher stolperstein

2)

für n ist egal welche Zahl man einsetzt weil [mm]a ^0[/mm]= 1 --> alle anderen natürlichen zahlen sind definiert

gehe ich in meinen annahmen richtig? kann mir jemand bitte helfen das mathematisch korrekt zu hinterfragen und zu beschreiben?

vielen dank im voraus & fröhliche weihnacht
 

        
Bezug
Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Di 24.12.2013
Autor: DieAcht

Hallo,


> <br>
>  Für welche natürlichen Zahlen a und n lässt sich[mm]a ^ (^-^n^)[/mm]
> als abbrechender dezimalbruch schreiben?
>  
> <br>
>  guten weihnachtlichen vorabend liebe mathematiker,
>  
> ich hab zwar ehrlich gesagt nicht viel ahnung was ein
> abbrechender dezimalbruch ist =) aber meine überlegungen
> sind folgendermaßén:
>  
> 1)
>  
> [mm]\IN[/mm]={1,2,3...} alle positiven ganzen zahlen ausser 0
>  
> also darf a als Basis nicht Null sein =)
>  [mm]a \neq 0[/mm]
>  aber null ist ja keine natürliche zahl laut
> definition... - hier also mein erster gedanklicher
> stolperstein
>  
> 2)
>  
> für n ist egal welche Zahl man einsetzt weil [mm]a ^0[/mm]= 1 -->
> alle anderen natürlichen zahlen sind definiert
>  
> gehe ich in meinen annahmen richtig? kann mir jemand bitte
> helfen das mathematisch korrekt zu hinterfragen und zu
> beschreiben?
>  
> vielen dank im voraus & fröhliche weihnacht
>   

Für mich gilt:

      [mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\} [/mm]
      [mm] \IN:=\{1,2,\ldots\} [/mm]

Meinst du folgendes ?

      [mm] a^{-n}=\frac{1}{a^n} [/mm]

Hier muss natürlich [mm] a^n\not=0 [/mm] gelten mit:

      [mm] n\in\IN_0 [/mm] und [mm] a\in\IN [/mm]

Ausnahme: $a=0$ und $n=0$ geht auch, denn [mm] 0^0:=1. [/mm]


Kommen wir nun zu den Dezimalzahlen:

Betrachte [mm] \IQ:=\{\frac{p}{q}|p\in\IZ\land q\in\IZ_{\not=0}\} [/mm]

Es gibt abbrechende (endliche), reinperiodische und gemischtperiodische Dezimalzahlen. Hier geht es um die abbrechende endliche Dezimalzahlen. Diese sind von der Form [mm] \frac{p}{10^S}, [/mm] wobei $S$ die Stellenzahl hinter dem Komma ist. Du probierst also deinen Bruch auf diese Form zu bringen. Das geht natürlich nur, wenn der Nenner Teiler einer Zehnerpotenz [mm] 10^S [/mm] ist. In anderen Worten: Die Primfaktorzerlegung des Nenners darf nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthalten.

Tipp: Mit Google solltest du genug dazu finden.

Frohes Fest!
DieAcht


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