Potenz einer Matrix berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | [mm] \pmat{0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die EW und die zugehörigen Hauptachsenrichtungen der Matrix A.
b) Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D und eine orthogonale Matrix T, so dass
A = TDT−1.
c) Berechnen Sie A10.
|
Zu a)
Ich bestimme die eigenwerte in dem ich das charakteristische Polynom bilde.
Führt mich zu:
[mm] -\lambda(\lambda^2+\lambda-2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = 0, [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 , [mm] \lambda_3 [/mm] = -2
Nun setze ich die einzelnen Lambdas wieder ein und bekomem meine 3 Eigenvektoren.
Bei mir sind das folgende:
[mm] \overrightarrow{v_1} [/mm] = [mm] \alpha \vektor{1 \\ 0 \\1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v_2} [/mm] = [mm] \alpha \vektor{-1 \\ 1 \\1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v_{3}} [/mm] = [mm] \alpha \vektor{-1 \\ 2 \\1}
[/mm]
Soweit richtig?
Zu b)
Um nun meine othogonal Matrix T zu bestimmen, muss ich die Vektoren auf die Länge 1 bringen.
Also
[mm] \overrightarrow{u} [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}
[/mm]
Ergibt:
[mm] \overrightarrow{u_1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{u_2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{3}}\\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{u_3} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{6}}\\ \bruch{-2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}
[/mm]
T = [mm] (u_1 u_2 u_3)
[/mm]
und D = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2}
[/mm]
richtig?
So nur soll ja A^10 bestimmt werden ist ja das gleiche wie [mm] (TDT^{-1})^{10} [/mm] = [mm] TD^{10}T^{-1}
[/mm]
Wenn ich aber nun [mm] TDT^{-1} [/mm] ausrechne müsste ich ja eigentlich A erhalten .... das kommt bei mir aber nicht raus ... irgenwo muss ich einen Fehler gemacht haben aber ich finde ihn nicht kann mir jemand sagen wo?
|
|
| |
|
> [mm]\pmat{0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
> a) Bestimmen
> Sie die EW und die zugehörigen Hauptachsenrichtungen der
> Matrix A.
>
> b) Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D und eine orthogonale
> Matrix T, so dass
> A = TDT−1.
>
> c) Berechnen Sie A10.
>
> Zu a)
>
> Ich bestimme die eigenwerte in dem ich das
> charakteristische Polynom bilde.
>
> Führt mich zu:
>
> [mm]-\lambda(\lambda^2+\lambda-2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = 0, [mm]\lambda_2[/mm] = 1 , [mm]\lambda_3[/mm] = -2
>
> Nun setze ich die einzelnen Lambdas wieder ein und bekomem
> meine 3 Eigenvektoren.
>
> Bei mir sind das folgende:
>
> [mm]\overrightarrow{v_1}[/mm] = [mm]\alpha \vektor{1 \\ 0 \\1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{v_2}[/mm] = [mm]\alpha \vektor{-1 \\ 1 \\1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{v_{3}}[/mm] = [mm]\alpha \vektor{-1 \\ 2 \\1}[/mm]
Hallo,
mein elektronischer Assistent schenkt mir hier einen etwas anderen Eigenwert.
Der Rest klingt vernünftig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
