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| Aufgabe | Eine gebogener Draht mit homogener Dichte habe die Länge 3 und werde an
den Punkten (1,0) und (-1,0) befestigt.
Man berechne die potentielle Energie des Drahts, wenn er diese Formen annimmt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hinweis: Die integral in b) dürfen mit dem Computer gelöst werden |
Ich weiß eigentlich wie man die Aufgabe löst, aber ich habe Schwierigkeiten die Kurven in a) und b) mathematisch zu beschreiben.
Da liegt vorallem daran, weil ich nicht weiß, wo die Kurven in a) und b) die vertikale Achse schneiden
die Kurve in b) würde ich so beschreiben
[mm] \gamma_b(t)=\vektor{t\\ t^2-c} [/mm] mit -1<t<1
und c ist der Punkt wo die Achse geschnitten wird, aber ich habe keinen zahlenwert dafür. wie bestimme ich nun die beiden Kurven?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Eine gebogener Draht mit homogener Dichte habe die Länge 3
> und werde an den Punkten (1,0) und (-1,0) befestigt.
> Man berechne die potentielle Energie des Drahts, wenn er
> diese Formen annimmt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hinweis: Die integral in b) dürfen mit dem Computer
> gelöst werden
>
> Ich weiß eigentlich wie man die Aufgabe löst, aber ich
> habe Schwierigkeiten die Kurven in a) und b) mathematisch
> zu beschreiben.
>
> Da liegt vorallem daran, weil ich nicht weiß, wo die
> Kurven in a) und b) die vertikale Achse schneiden
Für a) kannst du den fraglichen Wert mittels Pythagoras
berechnen, also ziemlich elementar.
>
> die Kurve in b) würde ich so beschreiben
>
> [mm]\gamma_b(t)=\vektor{t\\ t^2-c}[/mm] mit -1<t<1
>
> und c ist der Punkt wo die Achse geschnitten wird, aber ich
> habe keinen zahlenwert dafür. wie bestimme ich nun die
> beiden Kurven?
Dein Ansatz für b) ist ungeeignet. Du brauchst außer c einen
zusätzlichen Parameter, damit du auch die Form der Parabel
steuern kannst. Beispielsweise kannst du den Ansatz
[mm]\gamma_b(t)=\vektor{t\\ a*t^2-c}[/mm] mit -1<t<1
benützen. Für die Bestimmung der Werte der zwei Parameter
a und c hast du auch zwei Bedingungen, nämlich:
(1.) die Parabel muss durch die vorgeschriebenen Endpunkte
auf der horizontalen Achse verlaufen
(2.) die Gesamtlänge des Parabelbogens muss gleich 3 sein
(insbesondere für das darin involvierte Integral wird sich die
erlaubte Computerhilfe als sehr nützlich erweisen.
LG , Al-Chw.
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> Für a) kannst du den fraglichen Wert mittels Pythagoras
> berechnen, also ziemlich elementar.
die Hypotenuse beträgt 1,5 richtig? Demnach schneidet die Kurve die vertikale achse bei [mm] -\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Die Kurve ist linear. Deshalb gilt: y(t)=mt+n
[mm] m=\bruch{-\bruch{\wurzel{5}}{2}-0}{0-(-1)}=-\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] n=y(0)=-\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Für die Kurve gilt deshalb
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} (t,-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}), & \mbox{für } -1
habe ich die kurve richtig beschrieben?
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> > Für a) kannst du den fraglichen Wert mittels Pythagoras
> > berechnen, also ziemlich elementar.
>
> die Hypotenuse beträgt 1,5 richtig? Demnach schneidet die
> Kurve die vertikale achse bei [mm]-\bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Kurve ist
(stückweise !)
> linear. Deshalb gilt: y(t)=mt+n
>
> [mm]m=\bruch{-\bruch{\wurzel{5}}{2}-0}{0-(-1)}=-\bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> [mm]n=y(0)=-\bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> Für die Kurve gilt deshalb
>
> [mm]\gamma(t)=\begin{cases} (t,-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}), & \mbox{für } -1
>
> habe ich die kurve richtig beschrieben?
Das kannst du doch ganz leicht selber überprüfen:
Dass das jetzt stückweise linear ist, ist aus der (linearen)
Form der Terme ersichtlich. Teste jetzt einfach nochmals
mit den (Rand-) Werten t=-1, t=0, t=1 .
(Ja, es passt ...)
LG , Al-Chw.
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[mm] \gamma(t)=\begin{cases} (t,-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}), & \mbox{für } -1
Es gilt:
E=m*g*h
[mm] m=\rho*(\integral_{-1}^{0}{\wurzel{t^2+(-\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}dt}+\integral_{0}^{1}{\wurzel{t^2+(\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}dt})
[/mm]
[mm] h_1=-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] für -1<t<0
[mm] h_2= \bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] für 0<t<1
Daraus folgt:
[mm] E=\rho*g*\integral_{-1}^{0}{\wurzel{t^2+(-\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}*h_1 dt}+\rho*g*\integral_{0}^{1}{\wurzel{t^2+(\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}*h_2 dt}
[/mm]
[mm] E=\rho*g*\integral_{-1}^{0}{\wurzel{t^2+(-\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}*(-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}) dt}+\rho*g*\integral_{0}^{1}{\wurzel{t^2+(\bruch{\wurzel{5}t}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})^2}*(\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}) dt}
[/mm]
oh man das zu lösen wird echt eine qual. Ich hätte die Integrale so vereinfacht:
[mm] E=\rho*g*\integral_{-1}^{0}{\wurzel{\bruch{9t^2}{4}+\bruch{10t}{4}+\bruch{\wurzel{5}}{4}}*(-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}) dt}+\rho*g*\integral_{0}^{1}{\wurzel{\bruch{9t^2}{4}-\bruch{10t}{4}+\bruch{\wurzel{5}}{4}}*(\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}) dt}
[/mm]
Ich hätte jetzt beide integrale mit partieller integration gelöst. Zum Beispiel so:
[mm] g(t)=-\bruch{\wurzel{5}}{2}t-\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] g'(t)=-\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] f'(t)=\wurzel{\bruch{9t^2}{4}+\bruch{10t}{4}+\bruch{\wurzel{5}}{4}}
[/mm]
Wie bestimme ich f(t) bzw. wie integriere ich f`(t)?
Ist die Lösung soweit überhaupt richtig?
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Hallo Rebellismus,
ich denke, dass es deutlich einfacher geht. Ich habe deine
Rechnungen dann gar nicht im Detail durchgesehen.
Natürlich geht man (im Prinzip) von der Formel für
die potentielle Energie aus, also $\ [mm] E_{pot}\ [/mm] =\ m*g*h$
Man sollte dies aber gleich zu Beginn in eine Integralform
bringen, nämlich zum Beispiel:
$\ [mm] E_{pot}\ [/mm] =\ [mm] g*\integral [/mm] h\ dm $
Das g ist die Gravitationskonstante. Ein g(t), wie ich es in
deiner Rechnung sehe, ist ziemlich sinnlos.
Für die Darstellung der Kurve(n) würde ich ein x-y-
Koordinatensystem benützen, und zwar so wie in den
Skizzen und mit der Idee, dass eine auf dem Niveau y=0
befindliche Masse die potentielle Energie 0 haben soll.
Anstelle von h schreiben wir dann y. Anstatt t würde ich
die Integrationsvariable x des Koordinatensystems verwenden.
Diese dürfen wir einfach von 0 bis 1 laufen lassen und
dann das Ergebnis (wegen der offensichtlichen Symmetrie !)
verdoppeln.
Das Differential dm können wir ersetzen durch $\ dm\ =\ [mm] \rho*ds$ [/mm] ,
und dabei gilt für das Element ds der Bogenlänge für die
vorliegende lineare Funktion: $\ ds\ =\ [mm] \frac{3}{2}*dx$ [/mm] (warum ?)
[mm] \rho [/mm] steht für den Quotient Masse/Längeneinheit für die
homogene Massenverteilung entlang des "Drahts".
So kommt man schließlich zur Darstellung:
$\ [mm] E_{pot}\ [/mm] =\ [mm] 2*g*\integral_{x=0}^{1} [/mm] y [mm] *\rho\ [/mm] ds\ =\ [mm] 3*g*\rho*\integral_{x=0}^{1} [/mm] y(x) \ [mm] dx\$
[/mm]
Für das y(x) gilt im betrachteten Intervall: $\ y(x)\ =\ [mm] \frac{\sqrt{5}}{2}*(x-1)$
[/mm]
Das Integral ist dann leicht zu berechnen.
Bei der zweiten Teilaufgabe geht vieles analog; die
Hauptschwierigkeit ist dann die, dass das Bogenelement ds
nicht so leicht darstellbar ist. Dies führt dann auch zu
einer schwierigeren Integration.
Nebenbei bemerkt: Die Integration im ersten Beispiel
könnte man sich durch eine einfache Symmetrieüberlegung
sogar ersparen !!
LG , Al-Chw.
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Hallo
> Das g ist die Gravitationskonstante. Ein g(t), wie ich es
> in deiner Rechnung sehe, ist ziemlich sinnlos.
Wo genau siehst du ein g(t)? bei mir ist g auch konstante, deshalb habe ich es vor dem itnegral gezogen
EDIT: ach jetzt sehe ich was du meinst. ich habe die Variabeln schlecht gewählt. Das g(t) bei meiner rechnung ist NICHT die gravitationskonstante, sondern eine Hilfsfunktion um die partialle integration anzuwenden nach:
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(t) g(t)dt}=[f(t)*g(t)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{f(t) g'(t)dt}
[/mm]
> Das Differential dm können wir ersetzen durch [mm]\ dm\ =\\rho*ds[/mm],
> und dabei gilt für das Element ds der Bogenlänge für die
> vorliegende lineare Funktion: [mm]\ ds\ =\ \frac{3}{2}*dx[/mm]
> (warum ?)
weiß ich nicht. Kannst du das nochmal erklären? die länge der kurve beträgt 3/2. Wenn wir nun die 3/2 mit x multiplizieren, bekommen wir dann die länge bsi zum Punkt x ? gilt das nur für den intervall [mm] x\in[0,1] [/mm] ? oder auch für das intervall [mm] x\in[0,1000] [/mm] ?
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> EDIT: ach jetzt sehe ich was du meinst. ich habe die
> Variabeln schlecht gewählt. Das g(t) bei meiner rechnung
> ist NICHT die gravitationskonstante, sondern ....
Nun ja, ich habe schon angemerkt, dass ich deine Rechnung nicht im
Detail durchgesehen habe ... also sorry für dieses Missverständnis.
>
> > Das Differential dm können wir ersetzen durch [mm]\ dm\ =\\rho*ds[/mm],
> > und dabei gilt für das Element ds der Bogenlänge für
> > die vorliegende lineare Funktion: [mm]\ ds\ =\ \frac{3}{2}*dx[/mm]
>
> > (warum ?)
da es sich bei dem entsprechenden Stück des Graphen um
ein Geradenstück handelt, gilt: [mm] $\frac{ds}{dx}\ [/mm] =\ [mm] \frac{Hypotenuse}{Grundkathete}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1.5}{1}$
[/mm]
Dabei vergleiche ich das "infinitesimale" Dreieck mit Hypotenuse ds
und Kathete dx mit dem endlichen Dreieck mit Hypotenuse 1.5
und Kathete 1.
LG , Al-Chw.
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