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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Potential bestimmen
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Potential bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 19.06.2012
Autor: lzaman

Aufgabe
Vektorfeld [mm]\vec{f}:\IR^2\to\IR^2[/mm] mit

[mm]\vec{f}(x,y)=\vektor{g(x)\cdot e^y+3x^2y+2x \\ sin x \cdot e^y +x^3-3y^2}[/mm]

enthält eine unbekannte Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm]. g soll so bestimmt werden, dass [mm] $\vec{f}$ [/mm] ein Potential u besitzt. Dann soll mit eingesetztem $g$ $u$ bestimmt werden






Hallo zusammen. Für diese Aufgabe löse ich erstmal die Bedingung

[mm] $\dfrac{\partial \vec{f}_x}{\partial y}=\dfrac{\partial \vec{f}_y}{\partial x}$ [/mm]

Also:

[mm] $g(x)\cdot e^y+3x^2=cos [/mm] x [mm] \cdot e^y+3x^2$ [/mm]

Damit ist mein $g(x)=cos x$

Jetzt fällt mir das aber schwer das Potential aus

[mm]\vec{f}(x,y)=\vektor{cos x \cdot e^y+3x^2y+2x \\ sin x \cdot e^y +x^3-3y^2}[/mm]

zu bestimmen.

Könntet Ihr mir einen Tipp geben bzw. die Schritte, die ich dafür anwenden muss erläutern?

Vielen Dank




        
Bezug
Potential bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 19.06.2012
Autor: leduart

Hallo
das gesuchte Potential V hat ja den gradV=f
d.h. [mm] V_x=f1 [/mm] also musst du f1 nach x integrieren, oder f2 nach y dabei sollt dasselbe rauskommen.
Gruss leduart


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Potential bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Di 19.06.2012
Autor: lzaman


Hi, dann integriere ich mal zuerst [mm] $f_x$ [/mm] nach $x$:

[mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C(y)[/mm]

und [mm] $f_y$ [/mm] nach y:

[mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C(x)[/mm]

und das ist doch nicht das gleiche, oder? Irgendwie habe ich das noch nicht so ganz verinnerlicht...

Danke





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Potential bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Di 19.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Izaman,

>
> Hi, dann integriere ich mal zuerst [mm]f_x[/mm] nach [mm]x[/mm]:
>  
> [mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C(y)[/mm]
>  
> und [mm]f_y[/mm] nach y:
>  
> [mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C(x)[/mm]
>  


Das sind doch zwei unterschiedliche C's.
Um dies zu verdeutlichen, werden diese C's mit Indizes versehen:

[mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C_{\blue{1}}(y)[/mm]

[mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C_{\blue{2}}(x)[/mm]

Und jetzt kannst Du durch Vergleich beider rechten Seiten miteinander,
[mm]C_{1}(y)[/mm] und [mm]C_{2}(x)[/mm] bestimmen.


> und das ist doch nicht das gleiche, oder? Irgendwie habe
> ich das noch nicht so ganz verinnerlicht...
>  


Ein alternativer Weg:

Differenziere die aus [mm]f_{x}[/mm] errechnete Stammfunktion nach y
und vergleiche sie mit [mm]f_{y}[/mm]:

[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C_{1}(y)\ \right)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 [/mm]


> Danke
>  


Gruss
MathePower

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Potential bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:45 Mi 20.06.2012
Autor: lzaman


Also korrigiert mich bitte wenn es falsch ist, aber meine gesuchte Potentialfunktion [mm]u[/mm] muss dann [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm] sein. Denn es muss gelten:

[mm]\dfrac{\partial}{\partial x}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_1(x,y)=cos x \cdot e^y +3x^2y+2x[/mm]

und

[mm]\dfrac{\partial}{\partial y}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_2(x,y)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2[/mm]

Also ist das bei der Potentialfunktion [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm] der Fall.

Wie man den letzten Schritt eben berechnet habe ich noch nicht so ganz raus...  

Danke


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Potential bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mi 20.06.2012
Autor: notinX

Hallo,

>
> Also korrigiert mich bitte wenn es falsch ist, aber meine
> gesuchte Potentialfunktion [mm]u[/mm] muss dann [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm]
> sein. Denn es muss gelten:
>  
> [mm]\dfrac{\partial}{\partial x}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_1(x,y)=cos x \cdot e^y +3x^2y+2x[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\dfrac{\partial}{\partial y}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_2(x,y)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2[/mm]
>  
> Also ist das bei der Potentialfunktion [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm]
> der Fall.

ja das stimmt. Du kannst noch eine Konstante dazuaddieren.

>  
> Wie man den letzten Schritt eben berechnet habe ich noch
> nicht so ganz raus...  

Du hast es doch getan...
Integriere die i-te Komponente des Vektorfelds nach der i-ten Variable und passe dann bei allen die Integrationskonstante (welche von den anderen Variablen abhängen können) so an, dass gilt:
[mm] $\nabla V=\vec{f}$ [/mm]

>
> Danke
>  

Gruß,

notinX

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