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Potential aus Vektorfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mo 05.09.2011
Autor: LordPippin

Hallo,
ich möchte aus einem einfachen Vektorfeld ein Potential [mm] \Phi [/mm] berechnen.
[mm] \vec{A}(\vec{r})=\vektor{y \\ x \\0} [/mm]
[mm] \nabla \times \vec{A}(\vec{r}) [/mm] = 0 als existiert [mm] \Phi [/mm]
Es ist ja [mm] \vec{A}(\vec{r})=\nabla \Phi(\vec{r}), [/mm] also [mm] \Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vec{A}(\vec{r}) d\vec{r}} [/mm]
Somit [mm] \Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vektor{y \\ x \\0}\vektor{dx \\ dy \\ dz}}=\integral_{}^{}{(ydx+xdy+0dz)}=\integral_{}^{}{ydx}\integral_{}^{}{xdy}=xy+xy=2xy [/mm]

Nach der Musterlösung soll nur xy rauskommen.

Wo ist mein Fehler? Habe ich die Formel falsch nach [mm] \Phi [/mm] umgestellt?

Gruß LordPippin

        
Bezug
Potential aus Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Mo 05.09.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Hallo,
>  ich möchte aus einem einfachen Vektorfeld ein Potential
> [mm]\Phi[/mm] berechnen.
> [mm]\vec{A}(\vec{r})=\vektor{y \\ x \\0}[/mm]
>  [mm]\nabla \times \vec{A}(\vec{r})[/mm]
> = 0 als existiert [mm]\Phi[/mm]

richtig.

>  Es ist ja [mm]\vec{A}(\vec{r})=\nabla \Phi(\vec{r}),[/mm] also
> [mm]\Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vec{A}(\vec{r}) d\vec{r}}[/mm]
>  
> Somit [mm]\Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vektor{y \\ x \\0}\vektor{dx \\ dy \\ dz}}=\integral_{}^{}{(ydx+xdy+0dz)}=\integral_{}^{}{ydx}\integral_{}^{}{xdy}=xy+xy=2xy[/mm]

Du musst jede Komponente nach der jeweiligen Variable einzeln integrieren, dann erhältst Du zu jeder Integration eine Integrationskonstante, die von den jeweils anderen Variablen abhängt. Diese Konstante musst Du dann so bestimmen, dass [mm] $\nabla \Phi(\vec{r})= \vec{A}(\vec{r})$ [/mm] gilt.

>  
> Nach der Musterlösung soll nur xy rauskommen.
>  
> Wo ist mein Fehler? Habe ich die Formel falsch nach [mm]\Phi[/mm]
> umgestellt?
>  
> Gruß LordPippin

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Potential aus Vektorfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Di 06.09.2011
Autor: LordPippin

Hallo notinX, vielen Dank für deine Hilfe.

Wenn ich komponentenweise integriere komme ich auf Folgendes
[mm] \vektor{xy+c(y)\\xy+c(x)\\0} [/mm] die Integrationskonstante wäre ja von der jeweils anderen Variable abhängig, da z=0 eben nur von x bzw. y.
Nun leite ich z.B. die x-Komponente nach y ab und setze es mit der y-Komponente des Vektorfeldes gleich um c(y) zu erhalten
[mm] \Rightarrow [/mm] x+c'(y)=x  [mm] \Rightarrow [/mm]  c'(y)=0  [mm] \Rightarrow [/mm]  c(y)=0
Das gleiche um c(x) zu erhalten und man beommt als Ergebnis [mm] \Phi=xy [/mm]

Wäre das so richtig?

Gruß LordPippin

Bezug
                        
Bezug
Potential aus Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Di 06.09.2011
Autor: notinX

Hallo nochmal,

> Hallo notinX, vielen Dank für deine Hilfe.
>  
> Wenn ich komponentenweise integriere komme ich auf
> Folgendes
>  [mm]\vektor{xy+c(y)\\xy+c(x)\\0}[/mm] die Integrationskonstante
> wäre ja von den jeweils anderen Variablen abhängig, da z=0
> eben nur von x bzw. y.

[mm] $\left(\begin{array}{c} xy+c(y,{\color{red}z})\\ xy+c(x,{\color{red}z})\\ {\color{red}c(x,y)}\end{array}\right)$ [/mm]

>  Nun leite ich z.B. die x-Komponente nach y ab und setze es
> mit der y-Komponente des Vektorfeldes gleich um c(y) zu
> erhalten
>  [mm]\Rightarrow[/mm] x+c'(y)=x  [mm]\Rightarrow[/mm]  c'(y)=0  [mm]\Rightarrow[/mm]  
> c(y)=0
>  Das gleiche um c(x) zu erhalten und man beommt als
> Ergebnis [mm]\Phi=xy[/mm]
>  
> Wäre das so richtig?

Probier es aus. Wenn $ [mm] \nabla \Phi(\vec{r})= \vec{A}(\vec{r}) [/mm] $ gilt, stimmts.

>  
> Gruß LordPippin

Gruß,

notinX

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