Positiv definite Matrix / Min. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 21.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Schreibe [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2 [/mm] als [mm] x^T [/mm] Ax mit symmetrischem A. Ist das Minimum von f gleich null? |
Hallo,
A soll symmetrisch sein, also A = [mm] A^T
[/mm]
Aus dieser Darstellung [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2 [/mm] kann man direkt die Diagonalelemente von A ablesen 1 und 3
[mm] x^T [/mm] A x = [mm] \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
[/mm]
Zum Test habe ich noch f umgeformt [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] 2x_2)^2 [/mm] - [mm] x_2^2, [/mm] hierbei kann man nun die Pivotelemente ablesen und zwar 1 und -1. Formt man die Matrix entsprechend um ergeben sich auch diese Pivotelemente bei A, somit müsste dieses richtig sein.
Als nächstes nun das Minimum von f bestimmen, dies habe ich über partielle Ableitungen gemacht:
[mm] f'(x_1) [/mm] = [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] = 0
[mm] f'(x_2) [/mm] = [mm] 4x_1+6x_2 [/mm] = 0
Daraus habe ergibt sich nun ein Gleichungssystem: [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & | 0\\ 4 & 6 & | 0 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & | 0\\ 0 & -2 & | 0 \end{bmatrix}
[/mm]
-> [mm] -2x_2 [/mm] = 0 -> [mm] x_2 [/mm] = 0
-> [mm] 2x_1+4x_2 [/mm] = 0 -> [mm] x_1 [/mm] = 0
f(0,0) = 0
Also ist das Minimum von f null.
Würde dies alles so stimmen?
Gibt es vielleicht zur Bestimmung des Minimums eine mehr der Linearen Algebra entsprechenden Methode?
Besten Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 21.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Dass du die Gleichung in Matrixform überführst hat glaub ich auch den Sinn, dass du dann damit weiterarbeiten sollst.
Wir haben
$f=x^TAx$
Die Ableitung ist dann
[mm] $\nabla [/mm] f(x)=2Ax$
und die Zweite Ableitung
[mm] $\nabla^2 [/mm] f(x)=2A$
Die erste Ableitung ist 0 gesetzt genau das Gleichungssystem was du zur Bestimmung des Extrempunktes berechnet hast.
Die zweite Ableitung ist 2A und da musst du ja noch auf Definitheit prüfen, um sicher zu gehen, ob du wirklich ein Minimum hast, oder vielleicht ein Maximum, oder Sattelpunkt.
Hier kommt nämlich raus, dass die Matrix A indefinit ist, das heisst, dass es wirklich nur ein Sattelpunkt ist. Indefinitheit hab ich mit dem Hürwitz-Kriterium heraus bekommen. Falls du das nicht kennst einfach mal bei google schauen.
Die Punkte x=(-1,1) und x=(1,-1) haben z.B. auch Funktionswert 0. Damit könnte man das auch begründen.
Kannst es dir ja mal plotten lassen.
Auf der Geraden, wo [mm] x_1=-x_2 [/mm] gilt, liegen alle minimalen Stellen.
Grüße
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 23.12.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo.
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> Dass du die Gleichung in Matrixform überführst hat glaub
> ich auch den Sinn, dass du dann damit weiterarbeiten
> sollst.
>
> Wir haben
>
> [mm]f=x^TAx[/mm]
>
> Die Ableitung ist dann
>
> [mm]\nabla f(x)=2Ax[/mm]
>
> und die Zweite Ableitung
>
> [mm]\nabla^2 f(x)=2A[/mm]
>
> Die erste Ableitung ist 0 gesetzt genau das
> Gleichungssystem was du zur Bestimmung des Extrempunktes
> berechnet hast.
Also die beiden Werte [mm] x_1 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = 0. An diesen Stellen hat die Funktion Extrema.
> Die zweite Ableitung ist 2A und da musst du ja noch auf
> Definitheit prüfen, um sicher zu gehen, ob du wirklich ein
> Minimum hast, oder vielleicht ein Maximum, oder
> Sattelpunkt.
Eine Matrix kann ich in diesem Fall doch nur auf zwei Eigenschaften überprüfen
1. positiv definit
2. nicht positiv definit
Ich habe es einfach damit überprüft, ob alle Pivotelemente positiv sind, da A schon symmetrisch ist. Hierbei kam auch heraus, dass A nicht positiv definit ist.
Also wäre bei [mm] x_1 [/mm] / [mm] x_2 [/mm] ein Maximum, oder?
Wäre es so richtig:
f''(x) = 2A
1. wenn A positiv definit -> an Stelle [mm] x_1/x_2 [/mm] Minimum
2. wenn A nicht positiv definit -> an Stelle [mm] x_1/x_2 [/mm] Maximum
Also hat die Funktion f, doch gar kein Minimum, da A nicht positiv definit ist. Somit kann diese auch nicht Null sein. Stimmt dies dann so?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 24.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Nein das ist falsch.
Es gilt:
A positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
A negativ definit [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
A indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] nix von beiden
In deinem Bespiel ist es das dritte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 24.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Nein das ist falsch.
>
> Es gilt:
> A positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
> A negativ definit [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
> A indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] nix von beiden
>
> In deinem Bespiel ist es das dritte.
okay, nur um sicher zu gehen:
Die Funktion hat überhaupt kein Minimum und kann somit auch nicht Null sein?
Die ursprüngliche Frage war: Ist das Minimum von f gleich null?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> > Nein das ist falsch.
> >
> > Es gilt:
> > A positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
> > A negativ definit [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
> > A indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] nix von beiden
> >
> > In deinem Bespiel ist es das dritte.
>
> okay, nur um sicher zu gehen:
>
> Die Funktion hat überhaupt kein Minimum und kann somit
> auch nicht Null sein?
Die Funktion kann durchaus den Wert 0 annehmen.
Für [mm]x_{1}=-3x_{2}[/mm] nimmt die Funktion den Wert 0 an.
Ebenso nimmt die Funktion für [mm]x_{1}=-x_{2}[/mm] den Wert 0 an.
>
> Die ursprüngliche Frage war: Ist das Minimum von f gleich
> null?
Null ist kein Minimum von f.
>
> Gruß
> itse
Gruss
MathePower
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