Positiv definite Bilinearform < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Master_X |
Hallo,
ich habe die symmetrische Bilinearform
<u,v> = [mm] \int_{\Omega} \nabla [/mm] u [mm] \nabla [/mm] v [mm] \quad v\in H_0^{1}
[/mm]
und denke, dass diese auch positiv definit ist.
kann mir das jemand bestätigen?
danke
EDIT:
$ [mm] \Omega \subset \IR^n, [/mm] $ mit Lipschitz-Rand.
$ [mm] H_0^1 [/mm] $ ist der Sobolev Raum $ [mm] H^1 [/mm] $ (über $ [mm] L^2), [/mm] $ mit Null-Rändern im Spur Sinn.
u,v $ [mm] \in H_0^1. [/mm] $
$ [mm] \nabla [/mm] $ ist der Gradient und und $ [mm] \nabla [/mm] $ u, $ [mm] \nabla [/mm] $ v sind mit dem euklidischen Skalarprodukt verknüpft.
Lösung:
Damit sind dann auch $ [mm] u_x, u_y, v_x, v_y \in L^2. [/mm] $
Damit ist dann der Integrand eine Summe von n $ [mm] L^2- [/mm] $ Skalarprodukten, weshalb die positive Definitheit gewährleistet ist.
Also ist <u,v> ein Skalarprodukt.
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> Hallo,
> ich habe die symmetrische Bilinearform
> <u,v> = [mm]\int_{\Omega} \nabla[/mm] u [mm]\nabla[/mm] v [mm]\quad v\in H_0^{1}[/mm]
>
> und denke, dass diese auch positiv definit ist.
Hallo,
dann wäre es sicher geschickt, uns Deine Überlegungen dazu mitzuteilen.
Sinnvoll wäre es sicher auch, wenn Du uns sagen würdest, was die Buchstaben bedeuten, also [mm] \Omega, H_0^1, [/mm] welcher Menge u entstammt, und ggf. auch , ob mit [mm] \nabla [/mm] der Nablaoperator gemeint ist oder irgendetwas anderes.
Wie sind [mm] \nabla [/mm] u und [mm] \nabla [/mm] v miteinander verknüpft? Was ist die Integrationsvariable? (Oder stelle ich mich gerade etwas dumm an?)
Gruß v. Angela
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> kann mir das jemand bestätigen?
>
> danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 03.08.2010 | | Autor: | Master_X |
[mm] \Omega \subset \IR^n, [/mm] mit Lipschitz-Rand.
[mm] H_0^1 [/mm] ist der Sobolev Raum [mm] H^1 [/mm] (über [mm] L^2), [/mm] mit Null-Rändern im Spur Sinn.
u,v [mm] \in H_0^1.
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] ist der Gradient und und [mm] \nabla [/mm] u, [mm] \nabla [/mm] v sind mit dem euklidischen Skalarprodukt verknüpft.
Lösung:
Damit sind dann auch [mm] u_x, u_y, v_x, v_y \in L^2.
[/mm]
Damit ist dann der Integrand eine Summe von n [mm] L^2- [/mm] Skalarprodukten, weshalb die positive Definitheit gewährleistet ist.
Also ist <u,v> ein Skalarprodukt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 03.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Also ohne jetzt auf die Details einzugehen: aus [mm] $$\langle u,u\rangle=\int_\Omega\|\nabla u\|_2^2\ [/mm] dx=0$$ folgt wegen der Positivität des Integranden [mm]\nabla u = 0[/mm] fast überall, also [mm] $u=\operatorname{const}$ [/mm] fast überall. Jetzt benutze, dass die Spur von $u$ verschwindet um zu folgern [mm] $u=\operatorname{const}=0$ [/mm] fast überall.
Gruß, Robert
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