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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Di 27.10.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!
Definition: [mm] f^+:=max\{f,0\} [/mm] und [mm] f^-:=max\{-f,0\}.
[/mm]
i) [mm] f^{+}=-min\{-f,0\}: [/mm] Sei [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] $-f\le [/mm] 0$ und somit [mm] -min\{-f,0\}=-(-f)=f=f^{+}. [/mm] Nun sei $f<0$, dann ist $-f>0$ und somit [mm] -min\{-f,0\}=-0=0=f^{+}.
[/mm]
ii) [mm] f^{-}=-min\{f,0\}: [/mm] Sei [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] -min\{f,0\}=0=f^{-}. [/mm] Sei nun f<0, dann ist [mm] -min\{f,0\}=-f=f^{-}.
[/mm]
iii) [mm] $f^+\ge [/mm] 0$: Es ist [mm] f^+=max\{f,0\}. [/mm] Sei nun [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] $f^+=f\ge [/mm] 0$. Sei f<0, dann ist [mm] $f^+=0\ge [/mm] 0$
iv) [mm] $f^-\ge [/mm] 0$: Es ist [mm] f^{-}=max\{-f,0\}. [/mm] Sei [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] $-f\le [/mm] 0$ und somit [mm] $max\{-f,0\}=0\ge [/mm] 0$. Sei nun f<0, dann ist -f>0 und somit [mm] $max\{-f,0\}=f>0\ge [/mm] 0$
v) [mm] f=f^{+}-f^{-}: [/mm] Sei [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] f^{+}=f [/mm] und [mm] f^{-}=0, [/mm] also f=f-0=f. Sei $f<0$, dann ist [mm] f^{+}=0 [/mm] und [mm] f^{-}=-f, [/mm] also f=0-(-f)=f.
vi) [mm] f^{+}+f^{-}=|f|: [/mm] Sei [mm] $f\ge [/mm] 0$, dann ist [mm] f^{+}=f [/mm] und [mm] f^{-}=0, [/mm] also f+0=f=|f|. Sei $f<0$, dann ist [mm] f^{+}=0 [/mm] und [mm] f^{-}=-f, [/mm] also 0+(-f)=-f=|f|.
Ich bitte um Korrektur! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 27.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. es gibt Funktionen die weder >= 0 noch <=0 sind etwa [mm] x^2-2 [/mm] oder sinx
deshalb ist deine Fallunterscheidung falsch.
ich sehe gerade deinen Punkt V $f=f^+-f^-$
dann ist also f keine Funktion. was weiss man über f?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 27.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart!
> ich sehe gerade deinen Punkt V [mm]f=f^+-f^-[/mm]
> dann ist also f keine Funktion. was weiss man über f?
Wie kommst du darauf, dass f keine Funktion sei?
Ich gehe davon aus, dass f eine Abbildung mit Zielmenge [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IR\cup\{-\infty,+\infty\}\$ [/mm] sein soll.
(Natürlich wäre es hilfreich, wenn James90 die entsprechende Information gleich mitgepostet hätte.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Mi 28.10.2015 | | Autor: | James90 |
Die Behauptungen gelten nur punktweise.
https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral#Integration_beliebiger_messbarer_Funktionen_und_Integrierbarkeit
Machen meine Beweise nun Sinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:25 Mi 28.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Da alles punktweise gelten soll, hätte ich das auch so aufgeschrieben !
Ich mach Dir das z.B. für vi) mal vor, wobei [mm] \Omega [/mm] der Def.-Bereich von f sein soll.
vi) Behauptung: $ [mm] f^{+}+f^{-}=|f| [/mm] $ auf [mm] \Omega.
[/mm]
Beweis: Sei $x [mm] \in \Omega$ [/mm]
Fall 1: $ f(x) [mm] \ge [/mm] 0 $.
Dann ist $ [mm] f^{+}(x)=f(x)$ [/mm] und $ [mm] f^{-}(x)=0, [/mm] $ also [mm] $f^{+}(x)+f^{-}(x)=f(x)=|f(x)|. [/mm] $
Fall 2: $ f(x)<0$.
Dann ist $ [mm] f^{+}(x)=0 [/mm] $ und $ [mm] f^{-}(x)=-f(x), [/mm] $ also [mm] $f^{+}(x)+f^{-}(x)=-f(x)=|f(x)|. [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mi 28.10.2015 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank!!
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