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| Aufgabe | Die Population einer Tierart kann in die drei Altersstufen Jungtiere, ausgewachsene Tiere und Alttiere unterteilt werden.
Die Übergangsmatrix
[mm] [latex]U=\begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} [/mm] [/latex]
mit u, v > 0 beschreibt die jährlichen Veränderungen innerhalb dieser Tierart.
Frage: Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an? |
Wir haben im Unterricht diese Aufgabe gehabt und ich habe mir aufgeschrieben, dann man zuerst das v bestimmen muss,welches 7 beträgt. Was ich aber nicht verstehe ist, dass wir den Fixvektor bestimmt haben. Und dann verstehe ich nicht, wie ich auf die Verteilung [mm] \pmat{ 120 \\ 48 \\ 12 } [/mm] komme. Kann mir da vielleicht jemand helfen? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo blume1234,
da kann was nicht stimmen. Die Matrix enthält Übergangswahrscheinlichkeiten und diese sind immer kleiner gleich 1.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Fr 17.02.2012 | | Autor: | blume1234 |
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Diese Wahrscheinlichkeiten stehen doch aber so in der Aufgabe und müssen richtig sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Das kann leider nicht sein. Ein v-Wert von 7 beschreibt in dieser Matrix keine Wahrscheinlichkeit, der Wert muss kleiner als 1 sein.
VG,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 17.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Wk in der matrix sind schon richtig, aber dein v kann nicht 7 sein. meinst du 0.7?
Wenn du eunen eigenvektor zum eigenwert 1 hast, bleibt doch die Population immer gleich, wenn sie am Anfang der Eigenvektor ist.
korrigier dein v und erklär genauer, was du nicht verstehst.
Gruss leduart
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Das v ist aber bei jeder unserer Aufgaben größer als 1. Also müsste das eigentlich stimmen und unser Lehrer hatte auch gesagt das v=7 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, die 7 ist richtig.
Eigenvektor:
du bestimmst den vektor [mm] \vec{x}=(x,y,z) [/mm] so daas [mm] M*\vec{x}=\vec{x}
[/mm]
dazu löst du einfach das GS, dabei kannst du einen der variablen frei wählen, z. B z=r
dann solltest du einen Vektor (10*r,4*r,r) bekommen bitte rechne nach!
wenn die Herde 180 groß sein soll muss x+y+z=180 sein, damit bestimmst du r.
Gruß leduart
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Ja der Vektor t* [mm] \vektor{10 \\ 4 \\ 1} [/mm] müsste richtig sein den habe ich auch so. Nur ich verstehe jetzt nicht, wie ich mit diesem Vektor die Verteilung der 180 Tiere bestimme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn in der erde also 10*t Jungtiere, 4*t Erw. und 1*t alte sind, bleibt sie immer gleich. nun weisst du , dass die herde insgesamt 180 tiere groß ist. was muss dann t sein?
bei t=1 etwa wäre die Herde 15 Tiere groß.
Wenn du den letzten post genau liest steht da auch schon, wie du t (bei mir r) bestimmst.
Gruss leduart
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Ich versteh es leider nicht sorry. 180=x+y+z und ich kann eine Variable als mein t wählen, aber was kann ich dann machen und wie komme ich dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Leduarts Tipp ist goldrichtig.
Du hast einen Vektor, der Dir die Komponenten x, y und z liefert und in welchem Verhältnis diese Komponenten stehen, weisst Du auch:
Es muss also gelten:
[mm] 10r + 4r + r = 180 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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Achso jetzt habe ich es verstanden :) dankeschön :)
Aber dadurch, dass wir das unser Lehrer uns nur gesagt hat,dass v=7 ist, weiß ich nicht wie ich darauf komme. Ich habe ausprobiert die Gleichungen zu lösen aber ich scheitere an einem Punkt:
Man muss ja die Matrix mal den Vektor [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] nehmen und dies ist dann auch gleich das Ergebnis dieser Gleichung:
1. 0x1+ 0,75x2 + vx3=x1 /-x1
2. 0,4x1 + 0x2 + 0x3 = x2 /-x2
3. 0x1 + 0,25x2 + 0x3 = x3 /-x3
1. -x1+ 0,75x2 + vx3=0 /*(-1)
2. 0,4x1 - x2 + 0x3 = 0
3. 0x1 + 0,25x2 - x3 = 0
1. x1 - 0,75x2 - vx3=0
2. 0,4x1 - x2 + 0x3 = 0 /-0,4*1.
3. 0x1 + 0,25x2 - x3 = 0
1. x1 - 0,75x2 - vx3=0
2. 0x1 - 0,7x2 + 0,4vx3 = 0
3. 0x1 + 0,25x2 - x3 = 0
An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter. Könntet ihr mir bitte dabei noch einmal behilflich sein? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 21.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. um das richtige v zu bestimmen, wäre es einfacher gewesen ddie eigenwerte auszurechnen, dabei kommst du auf ein polynom 3 ten grades für [mm] \lambda, [/mm] wenn das die Lösung [mm] \lambda=1 [/mm] haben soll, muss man es durch [mm] (\lambda-1) [/mm] dividieren können ohne Rest. d.h. der Rest =0 ergibt v=7
aber auch deine methode geht. von der Stelle aus wo du bist, rechne aus der letzten Zeile [mm] x_3=0.25x2 [/mm] aus setz in die 2 te Gl. ein daraus hast du x2*(...)=0 wenn x2 nicht 0 sein soll muss die Klammer 0 sein, daraus folgt v=
dann in die erste Gleichung v und [mm] x_3 [/mm] einsetzen, gibt dir ne Beziehung zwischen x1 und x2, eines von beiden kannst du beliebig wählen etwa s und hast einen eigenwert 1 und die zugehörigen Eigenvektoren für dein v=7
Gruss leduart
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So ich habe jetzt [mm] x_{3} [/mm] berechnet und das wäre dann [mm] 0,25x_{2} [/mm] ist das richtig? Dann habe ich dies in die 2. Gleichung eingesetzt:
[mm] -0,7x_{2} [/mm] + 0,4 * v * 0,25 [mm] x_{2}=0
[/mm]
[mm] -0,7x_{2} [/mm] + [mm] 0,1x_{2} [/mm] *v = 0
0,1 [mm] x_{2} [/mm] * v = [mm] 0,7x_{2} /:0,1x_{2}
[/mm]
v= [mm] 7x_{2}
[/mm]
Das habe ich dann in die 1. Gleichung eingesetzt und auch mein berechnetes [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 0,75x_{2} [/mm] - [mm] 0,7x_{2} [/mm] * [mm] 0,25x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2,5x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 2,5x_{2}
[/mm]
Ist das richtig? Aber ich habe doch jetzt keine direkten Zahlen berechnet...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Di 21.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> So ich habe jetzt [mm]x_{3}[/mm] berechnet und das wäre dann
> [mm]0,25x_{2}[/mm] ist das richtig? Dann habe ich dies in die 2.
richtig
> Gleichung eingesetzt:
> [mm]-0,7x_{2}[/mm] + 0,4 * v * 0,25 [mm]x_{2}=0[/mm]
>
> [mm]-0,7x_{2}[/mm] + [mm]0,1x_{2}[/mm] *v = 0
>
> 0,1 [mm]x_{2}[/mm] * v = [mm]0,7x_{2} /:0,1x_{2}[/mm]
bis hier richtig, die nächste Rechng ist falsch, wenn du durch [mm] x_2\ne0 [/mm] dividierst fällt es doch weg!
> v= [mm]7x_{2}[/mm]
richtig ist v=7
> Das habe ich dann in die 1. Gleichung eingesetzt und auch
> mein berechnetes [mm]x_{2}:[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]0,75x_{2}[/mm] - [mm]0,7x_{2}[/mm] * [mm]0,25x_{2}=0[/mm]
das [mm] wäre:x_1-0.75x_2-0.175x_2^2
[/mm]
du hast dein falsches Ergebnis richtig eingesetzt, aber falsch ausgerechnet, mit v=7 kommt erstaunlicherweise dann das nächst ergebnis richtig raus.
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2,5x_{2}=0[/mm]
richtig
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]2,5x_{2}[/mm]
>
> Ist das richtig? Aber ich habe doch jetzt keine direkten
> Zahlen berechnet...
das kannst du auch nicht! du hast jetzt mit v=7 den eigenvektor z.B [mm] x_2*(2.5,1,0.25) [/mm] nimmst du [mm] x_2=r [/mm] den vektor r*(2.5,1,0.25) r jede beliebige Zahl, damit es schöner aussieht r=4s
dann hast du s*(10,4,1) ALLE vektoren der form sind eigenvektoren, d.h eine Herde mit 10 jungtieren, 4 erwachs. und einem alten bleibt erhalten, eine doppelt so grosse auch , eine 12 mal so große auch, das ist auch anschaulich klar, denn eine 12 mal so große herde sind ja einfach dasselbe wie 12 kleinere herden.
mathematisch heisst das wenn [mm] \vec{x} [/mm] ein Eigenvektor ist, dann auch [mm] r*\vec{x}
[/mm]
du kannst also bei der bestimmung von eigenvektoeren immer eines der [mm] x_i [/mm] frei wählen dann hast du einen eigenvektor, die vielfachen davon sind es dann auch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Di 21.02.2012 | | Autor: | blume1234 |
Okay ich habe alles noch einmal gerechnet und ich hatte nur ein Tippfehler. :)
Vielen Dank für die Gedult mit mir und natürlich für die Hilfe. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo blume1234,
bitte gehe doch noch mal auf die Größe v in der Übergangsmatrix ein. Ich behaupte immer noch, dass hier kein Wert größer als 1 stehen kann oder ist damit etwas anderes gemeint?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo infinit
die letzte Spalte (7,0,0) bedeutet einfach, dass jedes Alttier 7 Junge erzeugt (1 Erwachsener 0.75 Junge) und danach stirbt. bei dem Rest der Annahmen, bleibt nur so die Population stabil, d.h. man hat nen Eigenvektor mit Eigenwert 1.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo leduart,
okay, danke für die Erklärung. Mit einer Übergangsmatrix hat dies aber nichts zu tun.
Viele Grüße,
Infinit
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