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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Fr 09.04.2010 | | Autor: | DaKeeper |
| Aufgabe 1 | | Die Populationen entwickeln sich in Form eines 3-monatigen Zyklus. Begründen Sie diese Aussage anhand Ihrere Berechnungen aus Aufgabenteil a). Berechnen Sie dann jeweils die Anzahlen der Eier, Larven bzw. Insekten nach einem Jahr und nach zwei Jahren. |
| Aufgabe 2 | | Zur Bekämpfung der Populationen steht ein Insektizid zur Verfügung, das die Fortpflanzung der Insekten so beeinflusst, dass ein Insekt nur noch eine kleinere Zahl von Eiern ablegt. Bestimmen Sie die Anzahl an Eiern, die ein Insekt ablegen darf, wenn die Insektenpopulation langfristig stabil sein soll. |
Hallo,
also erst einem ist die Übergangsmatrix M= [mm] \pmat{ 0 & 0 &16 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 } [/mm]
und der Vektor v= [mm] \vektor{40 \\ 20 \\ 12}
[/mm]
zu 1) wenn nach 3 Monaten eine Population ist, also M*v dann ist es doch für ein Jahr [mm] M^4 [/mm] * v und für zwei Jahre dem entsprechend hoch 8? Oder liege ich da auf dem Holzweg?
zu 2) Ansatz: M * fixvektor = Fixvektor
also: [mm] \pmat{ 0 & 0 & X \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 } [/mm] * Fixvektor = Fixvektor.
Und dann mithilfe eines LGS lösen.
Wie ermittel ich hier den Fixvektor? Nehme ich da die Anfangsverteilung aus b) also v = [mm] \vektor{40 \\ 20 \\ 12}
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne die eigentliche Aufgabe, ist mit der Teilaufgabe wenig zu machen, was sind die Komponenten von v?
Wenn M die Änderung in 3 Mon. bedeutet, dann ja, [mm] M^4 [/mm] die in einem Jahr.
zu 2. erstmal musst du x so bestimmen, dass du den Eigenwert 1 rauskriegst!
Wenn du den hast, den zugehörigen Eigenvektor. der wird wohl nichts mit deinem v direkt zu tun haben.
du hast ja selbst gesagt, das GS lösen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Fr 09.04.2010 | | Autor: | DaKeeper |
Okay sorry... also:
Aufgabe 3:
Modellhaft lässt sich die Entwicklung bestimmten Insektenpopulation folgendermaßen beschreiben: Aus Eiern dieser Insektenart entwickeln sich zunächst innerhalb eines Monats Larven, die innerhalb eines Monats zu Insekten werden. Die Insekten legen wiederum nach einem Monat Eier und sterben anschließend. Aus Beobachtungen von Biologen weiß man, dass aus 25% der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden ( die anderen 75% werden gefressen oder verenden) und dass sich die Hälfte der Larven zu vollständigen Insekten entwickelt ( die andere Hälfte stirbt). Außerdem legt ein Insekt durchschnittlich 16 Eier.
--> die Koordinaten hatte ich schon gegeben für v.
vielen dank ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 09.04.2010 | | Autor: | DaKeeper |
| Aufgabe | Aufgabe 3:
Modellhaft lässt sich die Entwicklung bestimmten Insektenpopulation folgendermaßen beschreiben: Aus Eiern dieser Insektenart entwickeln sich zunächst innerhalb eines Monats Larven, die innerhalb eines Monats zu Insekten werden. Die Insekten legen wiederum nach einem Monat Eier und sterben anschließend. Aus Beobachtungen von Biologen weiß man, dass aus 25% der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden ( die anderen 75% werden gefressen oder verenden) und dass sich die Hälfte der Larven zu vollständigen Insekten entwickelt ( die andere Hälfte stirbt). Außerdem legt ein Insekt durchschnittlich 16 Eier. |
sorry hatte mich verklickt und bin auf mitteilung gekommen.
den Vektor v habe ich ja am Anfang schon gesagt. (40, 20, 12)
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Der "Fixvektor" kann ja skaliert werden. Wenn Du mit doppelt soviel Insekten, Eiern und Larven beginnst, ist das Ergebnis ja auch stabil.
D.h. Du hast 3 Gleichungen für 4 Unbekannte, und das ist ein einfaches lineares Gleichungssystem.
Da die Struktur der Übergangsmatrix so einfach ist, kannst Du auch einfach einsetzen:
Y Eier -> 1/4*Y Larven -> 1/8*Y Insekten -> X*1/8*Y Eier
also ist X? =)
Und daß v nicht stationär sein kann, siehst Du allein schon daran, daß
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & X \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 } [/mm] v$
nicht wieder die Matrix sein kann, weil 2. und 3. Zeile nicht stimmen, egal was X ist.
ciao
Stefan
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