Polynomring über dem Körper de < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
| Aufgabe | Es sei |R[X] der Polynomring in einer Variablen über dem Körper der reellen Zahlen.
Wir betrachten die Polynome:
[mm] f_1(X) [/mm] = X + 2
[mm] f_2(X) [/mm] = [mm] X^2 [/mm] - X
[mm] f_3(X) [/mm] = [mm] 3X^3
[/mm]
[mm] f_4(X) [/mm] = 2 - [mm] X^2
[/mm]
in |R(x). Geben Sie eine möglichst einfache Darstellung von L:= Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)) an und bestimmen Sie eine Teilfamilie von L:= Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)), die eine Basis von L bildet. |
Bis jetzt ist die Aufgabe ein Rätsel für mich. Ich nehme mal an, dass Lin für Linearkombination steht, aber wie kann ich die Polynome möglichst einfach darstellen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=382274
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> Es sei |R[X] der Polynomring in einer Variablen über dem
> Körper der reellen Zahlen.
>
> Wir betrachten die Polynome:
>
> [mm]f_1(X)[/mm] = X + 2
>
> [mm]f_2(X)[/mm] = [mm]X^2[/mm] - X
>
> [mm]f_3(X)[/mm] = [mm]3X^3[/mm]
>
> [mm]f_4(X)[/mm] = 2 - [mm]X^2[/mm]
>
> in |R(x). Geben Sie eine möglichst einfache Darstellung von
> L:= Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)) an und bestimmen Sie
> eine Teilfamilie von L:= Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)),
> die eine Basis von L bildet.
> Bis jetzt ist die Aufgabe ein Rätsel für mich. Ich nehme
> mal an, dass Lin für Linearkombination steht, aber wie kann
> ich die Polynome möglichst einfach darstellen?
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Solche Aufgaben liebe ich ja... Unter "möglichst einfach" könnte man wirklich verschiedenes verstehen...
Das "Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x))" steht für die Menge aller Linearkombinationen aus f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), und Du sollst sagen, wie die Elemente aussehen, die da drin sind.
Wie sehen die Elemente aus, die drin sind?
Fakt ist: f1(x), f2(x), f3(x), f4(x) ist ein Erzeugendensystem von L.
Du sollst hier eine maximale unabhängige teilmenge herauspicken. Die ist dann eine basis von L.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Wie geht man an sowas ran?
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Hallo,
weißt Du denn, was eine Linearkombination ist?
Wenn ja, schreib doch mal auf, wie eine Linearkombination von [mm] f_1, f_2, f_3, f_4 [/mm] aussieht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
[mm] \lambda f_1 [/mm] + [mm] \lambda f_2 [/mm] + [mm] \lambda f_3 [/mm] + [mm] \lambda f_4 [/mm]
War das diese Form?
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> [mm]\lambda f_1[/mm] + [mm]\lambda f_2[/mm] + [mm]\lambda f_3[/mm] + [mm]\lambda f_4[/mm]
>
> War das diese Form?
Hallo,
Du hast jetzt dastehen [mm] \lambda*(f_1+f_2+f_3+f_4).
[/mm]
Das ist eine Linearkombination von [mm] (f_1+f_2+f_3+f_4).
[/mm]
Schau am besten mal nach, wie Linearkombination definiert ist - es ist eine Investition in Deine mathematische Zukunft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 16.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Die Linearkombination ist die Summe von beliebigen Vielfachen der Elemente. Und ich hab nur ein Lambda für alle verwendet. Wenn ich das richtig verstehe, dann müsste vor jedem Summanden in der Linearkombination ein anderes Lambda stehen. Stimmt das irgendwie?
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> Die Linearkombination ist die Summe von beliebigen
> Vielfachen der Elemente. Und ich hab nur ein Lambda für
> alle verwendet. Wenn ich das richtig verstehe, dann müsste
> vor jedem Summanden in der Linearkombination ein anderes
> Lambda stehen. Stimmt das irgendwie?
Hallo,
ja, genau.
Es ist also
[mm] Lin(f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x))=\{ af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)+df_4(x)| a,b,c,d \in \IR\}.
[/mm]
Ob deine Chefs nun genua das mit "möglichst einfach" gemeint haben, weiß ich natürlich nicht.
Als nächstes mußt Du Dir noch Gedanken über die lineare Unabhängigkeit der Polynome machen, denn es wird ja eine Basis der linearen Hülle gesucht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 18.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Ja, genau das war auch wieder so ein Problem. Linear unabhängig heißt ja, dass alle Elemente 0 sind und die Linearkombination gesamt auch auf 0 kommt. Muss ich nun die einzelnen Werte darauf überprüfen, diese irgendwie einsetzen oder was ganz anderes machen?
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> Ja, genau das war auch wieder so ein Problem. Linear
> unabhängig heißt ja, dass alle Elemente 0 sind und die
> Linearkombination gesamt auch auf 0 kommt. Muss ich nun die
> einzelnen Werte darauf überprüfen, diese irgendwie
> einsetzen oder was ganz anderes machen?
Hallo,
die Eklärung für lineare Unabhängigkeit ist etwas - seltsam.
Am besten schaust Du jetzt erstmal nach, was für lineare Unabhängigkeit zu zeigen ist, und guckst dann mal probehalber, ob die 4 Polynome linear unabhängig sind.
Falls nicht, probiere sämtliche Mengen von drei Elementen durch.
Wenn Du da auch keine linear unabhängige Teilmenge findest, kömmen die mit zwei Elementen dran.
(Man könnte mit genügend Kenntnissen das ganze auch noch etwas ökonomischer gestalten, aber ich glaube, so weit seid Ihr noch nicht.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hiob701 |
Hallo,
hab mir gerade mal diese Problemstellung angeschaut.
Die Definition der Linearkombination ist mir klar, aber der Rest leider auch nicht.
Aber ich versuch es mal hin zu schreiben was ich mir dazu gedacht habe.
[mm] f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x) [/mm] = [mm] \lambda_1*f_1(x)+\lambda_2*f_2(x)+ \lambda_3*f_3(x)+ \lambda_4*f_4(x) [/mm] = 0
damit habe ich für meine einzelnen Polynome folgendes:
[mm] f_1(x)=(\lambda_1*x)*(2\lambda_1) [/mm] = 0
[mm] f_2(x)=(\lambda_2*x^2)*(-\lambda_2*x) [/mm] = 0
[mm] f_3(x)=\lambda_3*3x^3 [/mm] = 0
[mm] f_4(x)=(\lambda_4*2)*(-\lambda_4*x^2) [/mm] = 0
jetzt weiß ich zum einen nicht ob das so richtig ist und wenn ja, freut mich das, zum Anderen weiß ich aber nicht wie es weiter geht.
LG Hiob701
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Hallo,
es sind 4 vektoren [mm] v_1, ...,v_4 [/mm] doch linear unabhängig, wenn aus [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=Null [/mm] folgt,
daß [mm] a_1=a_2=a_3=a_4=0.
[/mm]
Vergleich das bitte mit dem, was Ihr in der Vorlesung hattet. Die Definition der linearen Unabhängigkeit ist essentiell für alles, was noch kommt.
Tja, hier heißen Deine Vektoren nun nicht v sondern f(X), und man muß sich überlegen, was mit der Null im Vektorraum der Polynome gemeint ist: das Nullpolynom n(X)=0.
Also hat man zu schauen, ob aus
[mm] a_1f_1(X)+a_2f_2(X)+a_3f_3(X)+a_4f_4(X)=n(X) [/mm] folgt, daß [mm] a_1=a_2=a_3=a_4=0.
[/mm]
Schauen wir nach:
Sei [mm] a_1f_1(X)+a_2f_2(X)+a_3f_3(X)+a_4f_4(X)=n(X)
[/mm]
==> (Polynome einsetzen) [mm] a_1(X [/mm] + [mm] 2)+a_2($ X^2 [/mm] $ - [mm] X)+a_3( [/mm] $ [mm] 3X^3 $)+a_4(2 [/mm] - $ [mm] X^2 [/mm] $)=0
==> (sortieren nach Potenzen von X) (...)*1 +(...)*X+ [mm] (....)X^3 +(....)X^3=0
[/mm]
Nun hast Du links und rechts jeweils ein Polynom (rechts das Nullpolynom).
Wann sind zwei Polynome gleich? Wenn ihre Koeffizienten gleich sind.
Wie sind die Koeffizienten hier? nach rechts gucken ergibt: alle =0.
Also sind alle Klammern vor den [mm] X^i [/mm] =0.
Dies liefert Dir 4 Gleichungen, das GS mußt Du nun lösen und erfährst, ob die eingesetzten Vektoren linear unabhängig sind.
Sie sind es, wenn die Lösung [mm] a_i=0 [/mm] die einzige Lösung ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 20.11.2008 | | Autor: | Hiob701 |
Hallo,
vielen Dank schon mal für die Erklärung. Wenn ich das richtig sehe hast du aber einen Tipfehler in der Aufstellung der Potenzen oder wie kommst du zwei mal auf [mm] X^3 [/mm] ??
Hier dein Ausdruck: (...)*1 [mm] +(...)*X+(...)X^3+(...)X^3
[/mm]
Meine zweite Frage wäre dann noch:
Welche vier Gleichungen meinst du?
Wenn ich die Polynome einsetzte und nach den Potenzen sortiere, komm ich einfach nicht auf Null...
Ich bekomme es einfach nicht hin.
Danke Hiob701
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> Hallo,
>
> vielen Dank schon mal für die Erklärung. Wenn ich das
> richtig sehe hast du aber einen Tipfehler in der
> Aufstellung der Potenzen oder wie kommst du zwei mal auf
> [mm]X^3[/mm] ??
>
> Hier dein Ausdruck: (...)*1 [mm]+(...)*X+(...)X^3+(...)X^3[/mm]
Hallo,
ja, natprürlich ist das ein Fehler.
>
> Meine zweite Frage wäre dann noch:
> Welche vier Gleichungen meinst du?
Die, die entstehen, wenn man die Vorfaktoren, also die Klammern, =0 setzt.
> Wenn ich die Polynome einsetzte und nach den Potenzen
> sortiere, komm ich einfach nicht auf Null...
>
> Ich bekomme es einfach nicht hin.
Dann müßtest Du mal zeien, was Du stehen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 20.11.2008 | | Autor: | Hiob701 |
Hallo Angela,
[mm] \Rightarrow a_1(x+2)+a_2(x^2-x)+a_3(3x^3)+a_4(2-x^2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1x+2a_1+a_2x^2-a_2x+a_33x^3+2a_4-a_4x^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(a_1+a_4)+(a_1-a_2)x+(a_2-a_4)x^2+3a_3x^3=0
[/mm]
und hier komme ich dann nicht weiter. Eigentlich dachte ich mir dann einfach hier meine gegebenen Polynome wieder einzugeben um dann auf 0 zu kommen.
[mm] \Rightarrow [/mm] mit [mm] a_1=f_1(x) [/mm] , [mm] a_2=f_a(x) [/mm] und so weiter.
Lg, Hiob701
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> Hallo Angela,
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> [mm] (\*)[/mm] [mm]\Rightarrow a_1(x+2)+a_2(x^2-x)+a_3(3x^3)+a_4(2-x^2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_1x+2a_1+a_2x^2-a_2x+a_33x^3+2a_4-a_4x^2=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2(a_1+a_4)*1+(a_1-a_2)x+(a_2-a_4)x^2+3a_3x^3=0[/mm]
>
> und hier komme ich dann nicht weiter. Eigentlich dachte ich
> mir dann einfach hier meine gegebenen Polynome wieder
> einzugeben um dann auf 0 zu kommen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] mit [mm]a_1=f_1(x)[/mm] , [mm]a_2=f_a(x)[/mm] und so weiter.
>
> Lg, Hiob701
Hallo,
nein Du bist auf dem falschen Trip.
Erfahren willst Du ja was über die [mm] a_i, [/mm] denn Du willst wissen, ob die eingesetzten Polynome [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind.
Wir haben oben links nun ein Polynom dritten Grades übersichtlich stehen, rechts die Null bzw. das Nullpolynom.
Jetzt verwendet man etwas, was ihr gewiß gelernt habt: zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind.
Die Koeffizienten rechts sind alle =0 (deshalb steht da ja so wenig...), also müssen die Koeffizienten links auch =0 sein.
Und aus dieser Überlegung bekommst Du ein LGS, welches Dir dann die gewünschten Informationen über die [mm] a_i [/mm] liefert:
[mm] 2(a_1+a_4)=0
[/mm]
[mm] (a_1-a_2)=0
[/mm]
[mm] (a_2-a_4)=0
[/mm]
[mm] 3a_3=0
[/mm]
Löse dies.
Wenn es nur die Nulllösung gibt, weiß Du, daß die Polynome [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind, denn aus [mm] (\*) [/mm] folgt [mm] a_1=...=a_4=0
[/mm]
Wenn es hingegen eine weitere Lösung gibt, sind die Polynome abhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Ist es richtig, dass die Basis {1,x,x²,x³} ist?
Und L:={f(x) [mm] \in \IR[x] [/mm] | grad f(x) [mm] \le [/mm] 3}?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ist es richtig, dass die Basis {1,x,x²,x³} ist?
Hallo,
Vektorräume haben ja nicht nur eine Basis, sondern i.d.R. mehrere, und die von Dir angegebene ist in der Tat eine der vielen Basen des Raumes.
>
> Und L:={f(x) [mm]\in \IR[x][/mm] | grad f(x) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3}?
Ja.
Das sieht man aber nicht sofort, sondern es gehört einiges an Begründung dazu. Wie bist Du denn drauf gekommen?
Gruß v. Angela
P.S.: Stand in der Aufgabe wirklich "bestimmen Sie eine Teilfamilie von L:= Lin(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)), die eine Basis von L bildet. ", oder stand da "bestimmen Sie eine Teilfamilie von (f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)), die eine Basis von L bildet. " ? Im zweiten Fall müßte man nämlich eine andere Basis angegeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 20.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Das mit dem grad habe ich formuliert, weil bei keinem der Elemente ein höherer Grad als 3 erreicht wird. (3x²)
Du hast allerdings recht, es war wie in deinem zweiten Fall formuliert, da habe ich mich vertan. Allerdings weiß ich nicht, wie die andere Basis nun aussehen muss.
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> Das mit dem grad habe ich formuliert, weil bei keinem der
> Elemente ein höherer Grad als 3 erreicht wird. (3x²)
>
> Du hast allerdings recht, es war wie in deinem zweiten Fall
> formuliert, da habe ich mich vertan. Allerdings weiß ich
> nicht, wie die andere Basis nun aussehen muss.
Hallo,
vielleicht schaust Du mal, was der Kollege Hiob tut, er ist gerade beim Nachweis der linearen Unabhängigkeit der [mm] f_i.
[/mm]
Wenn Du gezeigt hast, daß die 4 Polynome linear unabhängig sind, sind sie natürlich eine Basis des von ihnen erzeugten Raumes [mm] Lin(f_1(X),..., f_4(X)).
[/mm]
Ein Erzeugendensystem dieses Raumes sind sie ja sowieso - denn sie erzeugen ihn ja.
Um nun den Bogen zu der von Dir angeführten Basis [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] zu schlagen:
Es ist [mm] Lin(f_1(X),..., f_4(X)) [/mm] offensichtich eine Teilmenge (!!!) des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 3. Eine Basis dieses Oberraumes ist [mm] (1,x,x^2,x^3).
[/mm]
Die Dimension von [mm] Lin(f_1(X),..., f_4(X)) [/mm] ist 4, genau wie die Dimension des 0berraumes. Also ist [mm] Lin(f_1(X),..., f_4(X)) [/mm] selbst der Oberraum, und somit ist natürlich [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] auch eine Basis der linearen Hülle.
Es hätte aber ja auch sein können, daß die Polynome abhängig sind, und dann hättest Du Dir aus den 4 Polynomen eine möglichst große unabhängige teilmenge als Basis herausfischen können.
Gruß v. Angela
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