Polynomring mehrer Variabler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:37 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei R ein Ring, m natürliche Zahl $>0$. Man betrachte [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] jeweils als Monoid unter Addition. Zeigen Sie:
(i) [mm] $R[\IZ] \cong [/mm] R[X,Y]/(1-XY)$
(ii) [mm] $R[\IZ/m\IZ] \cong R[X]/(X^m-1)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe bei beiden Teilaufgaben einen Ansatz, komme aber nicht bis ganz zum Ende:
(i) Betrachte die Abbildung [mm] $\Phi: [/mm] R[X,Y] [mm] \to R[\IZ], X^n \mapsto X^n, Y^n \mapsto X^{-n}$
[/mm]
Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn: es ist [mm] $R[X,Y]=R[\IN^2]$, [/mm] wenn man [mm] $\IN^2$ [/mm] als additives Monoid auffasst. Ist nun $f [mm] \in [/mm] R[X,Y] [mm] \Rightarrow \forall \mu \in \IN^2 \exists a_\mu \in [/mm] R: f = [mm] \summe_{\mu \in \IN^2} a_\mu X^\mu$, [/mm] wobei [mm] $a_\mu [/mm] = 0$ für fast alle [mm] $\mu \in \IN^2$. [/mm] Wir Außerdem wird die Setzung [mm] $X^{(1,0)}:=X$ [/mm] und [mm] $X^{(0,1)}:=Y$ [/mm] verwendet.
Damit folgt mit [mm] $\mu [/mm] = [mm] (\mu_1,\mu_2)$:
[/mm]
[mm] \Phi(f) [/mm] = [mm] \Phi\left(\summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^\mu\right) [/mm] = [mm] \summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu \Phi(X^\mu) [/mm] = [mm] \summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^{\mu_1} X^{-\mu_2} [/mm] = [mm] \summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^{\mu_1 - \mu_2} \in R[\IZ]$
[/mm]
[mm] $\Phi$ [/mm] ist außerdem Ringhomomorphismus, da die oben gegebene Abbildungsvorschrift linear fortgesetzt wird. [mm] $\Phi$ [/mm] ist darüber hinaus surjektiv.
Nun zum Knackpunkt: Ich möchte zeigen, dass [mm] $ker(\Phi) [/mm] = (1-XY)$, um den Homomorphiesatz anwenden zu können. Die eine Richtung zu zeigen ist trivial:
Sei $f [mm] \in [/mm] (1-XY) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] R[X,Y]: f=g(1-XY) [mm] \Rightarrow \Phi(f) [/mm] = [mm] \Phi(g)(1-\Phi(X)\Phi(Y)) [/mm] = [mm] \Phi(g)(1-XX^{-1}) [/mm] = 0$. damit ist $f [mm] \in ker(\Phi)$
[/mm]
Mit der Rückrichtung habe ich meine Probleme. Wie kann ich aus [mm] $\Phi(f)=0$ [/mm] folgern, dass $f [mm] \in [/mm] (1-XY)$: Ich habe ja nicht einmal einen Hauptidealring zugrunde liegen oder sonst etwas.
Wie kann ich hier rangehen?
(ii) Das Vorgehen ist analog zum teil (i), ich betrachte die Abbildung [mm] \Phi: [/mm] R[X] [mm] \to R[\IZ/m\IZ], X^n \mapsto X^{n \: mod \: m}$
[/mm]
Es handelt sich wieder um einen wohldefinierten, surjektiven Ringhomomorphismus, und ich möchte zeigen, dass [mm] $ker(\Phi) [/mm] = [mm] (X^m-1)$, [/mm] dann gilt die Aussage mithilfe des Homomorphiesatzes.
Dass aus $f [mm] \in (X^m-1)$ [/mm] folgt [mm] $\Phi(f)=0$ [/mm] ist wieder einfach, aber mit der Rückrichtung habe ich wieder Probleme. Wie komme ich da weiter?
Vielen Dank für die Hilfe! Viele Grüße,
Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:35 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei R ein Ring, m natürliche Zahl [mm]>0[/mm]. Man betrachte [mm]\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/m\IZ[/mm] jeweils als Monoid unter Addition. Zeigen
> Sie:
> (i) [mm]R[\IZ] \cong R[X,Y]/(1-XY)[/mm]
> (ii) [mm]R[\IZ/m\IZ] \cong R[X]/(X^m-1)[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe bei beiden Teilaufgaben einen Ansatz, komme aber
> nicht bis ganz zum Ende:
>
> (i) Betrachte die Abbildung [mm]\Phi: R[X,Y] \to R[\IZ], X^n \mapsto X^n, Y^n \mapsto X^{-n}[/mm]
>
> Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn: es ist
das geht doch einfacher  $R[X,Y]$ ist die freie kommutative $R$-Algebra mit Basis [mm] $\{ X, Y \}$, [/mm] weshalb es genau einen $R$-Homomorphismus [mm] $\Phi [/mm] : R[X, Y] [mm] \to R[\IZ]$ [/mm] gibt mit [mm] $\Phi(X) [/mm] = X$ und [mm] $\Phi(Y) [/mm] = [mm] X^{-1}$. [/mm] Und der tut natuerlich [mm] $X^n$ [/mm] auf [mm] $X^n$ [/mm] und [mm] $Y^n$ [/mm] auf [mm] $X^{-n}$ [/mm] abbilden :)
> [mm]R[X,Y]=R[\IN^2][/mm], wenn man [mm]\IN^2[/mm] als additives Monoid
> auffasst. Ist nun [mm]f \in R[X,Y] \Rightarrow \forall \mu \in \IN^2 \exists a_\mu \in R: f = \summe_{\mu \in \IN^2} a_\mu X^\mu[/mm],
> wobei [mm]a_\mu = 0[/mm] für fast alle [mm]\mu \in \IN^2[/mm]. Wir Außerdem
> wird die Setzung [mm]X^{(1,0)}:=X[/mm] und [mm]X^{(0,1)}:=Y[/mm] verwendet.
> Damit folgt mit [mm]\mu = (\mu_1,\mu_2)[/mm]:
> [mm]\Phi(f)[/mm] =
> [mm]\Phi\left(\summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^\mu\right)[/mm] =
> [mm]\summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu \Phi(X^\mu)[/mm] = [mm]\summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^{\mu_1} X^{-\mu_2}[/mm]
> = [mm]\summe_{\mu \in \IN^2}^{n} a_\mu X^{\mu_1 - \mu_2} \in R[\IZ]$[/mm]
>
> [mm]\Phi[/mm] ist außerdem Ringhomomorphismus, da die oben gegebene
> Abbildungsvorschrift linear fortgesetzt wird. [mm]\Phi[/mm] ist
> darüber hinaus surjektiv.
>
> Nun zum Knackpunkt: Ich möchte zeigen, dass [mm]ker(\Phi) = (1-XY)[/mm],
> um den Homomorphiesatz anwenden zu können. Die eine
> Richtung zu zeigen ist trivial:
> Sei [mm]f \in (1-XY) \Rightarrow \exists g \in R[X,Y]: f=g(1-XY) \Rightarrow \Phi(f) = \Phi(g)(1-\Phi(X)\Phi(Y)) = \Phi(g)(1-XX^{-1}) = 0[/mm].
> damit ist [mm]f \in ker(\Phi)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mit der Rückrichtung habe ich
> meine Probleme. Wie kann ich aus [mm]\Phi(f)=0[/mm] folgern, dass [mm]f \in (1-XY)[/mm]:
> Ich habe ja nicht einmal einen Hauptidealring zugrunde
> liegen oder sonst etwas.
> Wie kann ich hier rangehen?
Sei $f = [mm] \sum_{i,j} a_{ij} X^i Y^j \in \ker \Phi$, [/mm] d.h. es ist [mm] $\Phi(f) [/mm] = [mm] \sum_{i,j} a_{ij} X^{i-j} [/mm] = 0$. Daraus folgt, dass fuer jedes $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt: [mm] $\sum_{i,j \atop i-j = n} a_{ij} [/mm] = 0$. Die Summe kann man jetzt umschreiben zu [mm] $\sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j}$.
[/mm]
Fuer $n [mm] \in \IZ$ [/mm] setze [mm] $f_n [/mm] := [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j$; [/mm] dann ist $f = [mm] \sum_{n\in\IZ} f_n$. [/mm] Aus obigen folgt, dass [mm] $f_n \in \ker \Phi$ [/mm] ist fuer jedes $n$. Es reicht also zu zeigen, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] in $(1 - X Y)$ liegt.
Schreibe jetzt $n = n_+ - n_-$ mit $n_+, n_- [mm] \ge [/mm] 0$, $n_+ n_- = 0$ (diese Darstellung ist eindeutig).
Behauptung 1: aus [mm] $f_n$ [/mm] kann man [mm] $X^{n_+} Y^{n_-}$ [/mm] ausklammern.
(Das musst du jetzt zeigen.)
Also kann man [mm] $f_n [/mm] = [mm] X^{n_+} Y^{n_-} \cdot g_n$ [/mm] schreiben mit [mm] $g_n \in [/mm] R[X,Y]$, und [mm] $g_n [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j$.
[/mm]
Jetzt ist [mm] $g_n [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j [/mm] - [mm] \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} (X^j Y^j [/mm] - 1)$ (da [mm] $\sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} [/mm] = 0$ ist). Und daraus kannst du jetzt Term fuer Term $X Y - 1$ ausklammern.
> (ii) Das Vorgehen ist analog zum teil (i), ich betrachte
> die Abbildung [mm]\Phi:[/mm] R[X] [mm]\to R[\IZ/m\IZ], X^n \mapsto X^{n \: mod \: m}$[/mm]
Mit der universellen Eigenschaft von $R[X]$ geht das wieder etwas einfacher 
> Es handelt sich wieder um einen wohldefinierten,
> surjektiven Ringhomomorphismus, und ich möchte zeigen,
> dass [mm]ker(\Phi) = (X^m-1)[/mm], dann gilt die Aussage mithilfe
> des Homomorphiesatzes.
> Dass aus [mm]f \in (X^m-1)[/mm] folgt [mm]\Phi(f)=0[/mm] ist wieder einfach,
> aber mit der Rückrichtung habe ich wieder Probleme. Wie
> komme ich da weiter?
Sei $f = [mm] \sum_{i=0}^\infty a_i X^i$. [/mm] Wenn [mm] $\Phi(f) [/mm] = 0$ ist, dann gilt [mm] $\sum_{i=0}^\infty a_{j + i m} [/mm] = 0$ fuer alle $j = 0, [mm] \dots, [/mm] m - 1$. Damit kannst du jetzt wie oben aus [mm] $\sum_{i=0}^\infty a_{j + i m} X^{j + i m}$ [/mm] einmal [mm] $X^j$ [/mm] ausklammern, das mit der Nullsumme passend umschreiben, und aus dem Rest dann [mm] $X^m [/mm] - 1$ ausklammern.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin, vielen Dank für deine Antwort!
>
> Sei [mm]f = \sum_{i,j} a_{ij} X^i Y^j \in \ker \Phi[/mm], d.h. es
> ist [mm]\Phi(f) = \sum_{i,j} a_{ij} X^{i-j} = 0[/mm]. Daraus folgt,
> dass fuer jedes [mm]n \in \IZ[/mm] gilt: [mm]\sum_{i,j \atop i-j = n} a_{ij} = 0[/mm].
> Die Summe kann man jetzt umschreiben zu [mm]\sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j}[/mm].
>
> Fuer [mm]n \in \IZ[/mm] setze [mm]f_n := \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j[/mm];
> dann ist [mm]f = \sum_{n\in\IZ} f_n[/mm]. Aus obigen folgt, dass [mm]f_n \in \ker \Phi[/mm]
> ist fuer jedes [mm]n[/mm]. Es reicht also zu zeigen, dass jedes [mm]f_n[/mm]
> in [mm](1 - X Y)[/mm] liegt.
>
> Schreibe jetzt [mm]n = n_+ - n_-[/mm] mit [mm]n_+, n_- \ge 0[/mm], [mm]n_+ n_- = 0[/mm]
> (diese Darstellung ist eindeutig).
>
> Behauptung 1: aus [mm]f_n[/mm] kann man [mm]X^{n_+} Y^{n_-}[/mm]
> ausklammern.
> (Das musst du jetzt zeigen.)
Es ist doch $n [mm] \in \IZ$, [/mm] also ist für [mm] $n\ge{0}: [/mm] n_+=n$ und $n_-=0$ und für $n<0: n_+=0$ und $n_-=-n$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für [mm] n\ge{0}: $f_n [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j [/mm] = [mm] X^n \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^j Y^j$
[/mm]
für $n<0: [mm] f_n [/mm] := [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j [/mm] = [mm] Y^{n_-} \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^{j-n_-} [/mm] = [mm] Y^{n_-} \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^{n+j}$
[/mm]
Damit bekomme ich jedoch nicht genau [mm] $f_n [/mm] = [mm] X^{n_+} Y^{n_-} \cdot g_n$ [/mm] mit [mm] $g_n [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j$. [/mm] Und das bekomm ich auch nicht mit einer Indexverschiebung hin.
Was ist hier schief gelaufen?
>
> Also kann man [mm]f_n = X^{n_+} Y^{n_-} \cdot g_n[/mm] schreiben mit
> [mm]g_n \in R[X,Y][/mm], und [mm]g_n = \sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j[/mm].
>
> Jetzt ist [mm]g_n = \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j - \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} = \sum_{j=1}^\infty a_{n+j,j} (X^j Y^j - 1)[/mm]
> (da [mm]\sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} = 0[/mm] ist). Und daraus kannst
> du jetzt Term fuer Term [mm]X Y - 1[/mm] ausklammern.
>
> > (ii) Das Vorgehen ist analog zum teil (i), ich betrachte
> > die Abbildung [mm]\Phi:[/mm] R[X] [mm]\to R[\IZ/m\IZ], X^n \mapsto X^{n \: mod \: m}$[/mm]
>
> Mit der universellen Eigenschaft von [mm]R[X][/mm] geht das wieder
> etwas einfacher
Meinst du: ich betrachte die kanonische Inklusion $R [mm] \to R[\IZ/m\IZ]$ [/mm] (diese ist natürlich ein Ringhomomorphismus) sowie den Monoidhomomorphismus [mm] $\IN \to \IZ/m\IZ, [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] n [mm] \: [/mm] mod [mm] \: [/mm] m$. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\Phi: R[\IN]=R[X] \to R[\IZ/m\IZ]$ [/mm] mit [mm] $\Phi|_R [/mm] = id$ und [mm] $\Phi(X^n) [/mm] = [mm] X^{n \: mod \: m}$?
[/mm]
>
> > Es handelt sich wieder um einen wohldefinierten,
> > surjektiven Ringhomomorphismus, und ich möchte zeigen,
> > dass [mm]ker(\Phi) = (X^m-1)[/mm], dann gilt die Aussage mithilfe
> > des Homomorphiesatzes.
> > Dass aus [mm]f \in (X^m-1)[/mm] folgt [mm]\Phi(f)=0[/mm] ist wieder
> einfach,
> > aber mit der Rückrichtung habe ich wieder Probleme. Wie
> > komme ich da weiter?
>
> Sei [mm]f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i[/mm]. Wenn [mm]\Phi(f) = 0[/mm] ist,
> dann gilt [mm]\sum_{i=0}^\infty a_{j + i m} = 0[/mm] fuer alle [mm]j = 0, \dots, m - 1[/mm].
> Damit kannst du jetzt wie oben aus [mm]\sum_{i=0}^\infty a_{j + i m} X^{j + i m}[/mm]
> einmal [mm]X^j[/mm] ausklammern, das mit der Nullsumme passend
> umschreiben, und aus dem Rest dann [mm]X^m - 1[/mm] ausklammern.
Ok, verstanden, danke!
Viele Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Behauptung 1: aus [mm]f_n[/mm] kann man [mm]X^{n_+} Y^{n_-}[/mm]
> > ausklammern.
> > (Das musst du jetzt zeigen.)
>
> Es ist doch [mm]n \in \IZ[/mm], also ist für [mm]n\ge{0}: n_+=n[/mm] und
> [mm]n_-=0[/mm] und für [mm]n<0: n_+=0[/mm] und [mm]n_-=-n[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] für [mm]n\ge{0}:[/mm] [mm]f_n = \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j = X^n \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^j Y^j[/mm]
>
> für [mm]n<0: f_n := \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^j = Y^{n_-} \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^{j-n_-} = Y^{n_-} \sum_{j=0}^\infty a_{n+j, j} X^{n+j} Y^{n+j}[/mm]
>
> Damit bekomme ich jedoch nicht genau [mm]f_n = X^{n_+} Y^{n_-} \cdot g_n[/mm]
> mit [mm]g_n = \sum_{j=0}^\infty a_{n+j,j} X^j Y^j[/mm]. Und das
> bekomm ich auch nicht mit einer Indexverschiebung hin.
> Was ist hier schief gelaufen?
Ich hatte das nicht so genau gerechnet Insofern stimmt deins wohl, aber das macht ja nichts.
Du kannst das zu [mm] $Y^{n_-} \sum_{j=0}^\infty a_{j,j+n_-} X^j Y^j$ [/mm] umformen, und mit [mm] $\sum_{j=0}^\infty a_{j,j+n_-} X^j Y^j$ [/mm] kannst du genauso gut weiterrechnen wie mit [mm] $\sum_{j=0}^\infty a_{j-n_-,j} X^j Y^j$.
[/mm]
> > Mit der universellen Eigenschaft von [mm]R[X][/mm] geht das wieder
> > etwas einfacher
>
> Meinst du: ich betrachte die kanonische Inklusion [mm]R \to R[\IZ/m\IZ][/mm]
> (diese ist natürlich ein Ringhomomorphismus) sowie den
> Monoidhomomorphismus [mm]\IN \to \IZ/m\IZ, n \mapsto n \: mod \: m[/mm].
> Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus [mm]\Phi: R[\IN]=R[X] \to R[\IZ/m\IZ][/mm]
> mit [mm]\Phi|_R = id[/mm] und [mm]\Phi(X^n) = X^{n \: mod \: m}[/mm]?
Wenn ihr das ueber Monoidhomomorphismen macht, dann ja, das geht dann so
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Wunderbar, vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
LG Lippel
|
|
|
|
