Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir betrachten den Polynomring k[X] über dem Körper k. Weiterhin
sei Abb(k, k) der Ring der Abbildungen von k nach k mit elementweiser Addition und Multiplikation. Das heißt für f,g [mm] \in [/mm] Abb(k,k) definieren wir: (f+g)(a)=f(a)+g(a) und (f*g)(a)=f(a)*g(a).
i) Zeigen sie, dass die Abb. [mm] \phi [/mm] : k[X] [mm] \rightarrow [/mm] Abb(k,k) ein Ringhomo. ist.
ii) Zeigen Sie, dass für einen endlichen Körper k der Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] surjektiv aber nicht injektiv ist.
ii) Zeigen Sie, dass für einen unendlichen Körper k der Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] injektiv aber nicht surjektiv ist. |
Hallo,
ich habe mir bislang überlegt:
seien [mm] p_1 [/mm] = [mm] a_0*x^0+a_1*x^1+...+a_n*x^n [/mm] und [mm] p_2 [/mm] = [mm] b_0*x^0+b_1*x^1+...+b_m*x^m [/mm] mit [mm] p_1, p_2 \in [/mm] k[X]
OBdA sei m [mm] \ge [/mm] n
und jetzt würde ich [mm] \phi(p_1+p_2) [/mm] bestimmen:
[mm] \phi(p_1+p_2)=\phi((a_0*x^0+...+a_n*x^n)+(b_0*x^0+...+b_m*x^m))=...=\phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i)
[/mm]
so und nun bin ich mir unsicher:
1.) Ich würde das jetzt gerne "auseinanderziehen", also zu [mm] \phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i)+\phi(\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i) [/mm] umformen. Ist das überhaupt die richtie Idee?
2.) Wenn ich recht habe, muss ich damit ich das dann so "auseinanderziehen" kann nicht zuerst zeigen, dass die Abb. [mm] \phi [/mm] linear ist?
Wie immer freue ich mich sehr über eure Hilfe!
|
|
| |
|
moin,
> Wir betrachten den Polynomring k[X] über dem Körper k.
> Weiterhin
> sei Abb(k, k) der Ring der Abbildungen von k nach k mit
> elementweiser Addition und Multiplikation. Das heißt für
> f,g [mm]\in[/mm] Abb(k,k) definieren wir: (f+g)(a)=f(a)+g(a) und
> (f*g)(a)=f(a)*g(a).
>
> i) Zeigen sie, dass die Abb. [mm]\phi[/mm] : k[X] [mm]\rightarrow[/mm]
> Abb(k,k) ein Ringhomo. ist.
Wie sieht denn [mm] $\phi$ [/mm] aus?
Ist [mm] $\phi(p) [/mm] = (x [mm] \mapsto [/mm] p(x))$, also du nimmst ein Polynom und bildest es auf die Polynomabbildung ab?
> ii) Zeigen Sie, dass für einen endlichen Körper k der
> Ringhomomorphismus [mm]\phi[/mm] surjektiv aber nicht injektiv ist.
>
> ii) Zeigen Sie, dass für einen unendlichen Körper k der
> Ringhomomorphismus [mm]\phi[/mm] injektiv aber nicht surjektiv ist.
> Hallo,
>
> ich habe mir bislang überlegt:
>
> seien [mm]p_1[/mm] = [mm]a_0*x^0+a_1*x^1+...+a_n*x^n[/mm] und [mm]p_2[/mm] =
> [mm]b_0*x^0+b_1*x^1+...+b_m*x^m[/mm] mit [mm]p_1, p_2 \in[/mm] k[X]
>
> OBdA sei m [mm]\ge[/mm] n
>
>
> und jetzt würde ich [mm]\phi(p_1+p_2)[/mm] bestimmen:
>
> [mm]\phi(p_1+p_2)=\phi((a_0*x^0+...+a_n*x^n)+(b_0*x^0+...+b_m*x^m))=...=\phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i)[/mm]
>
> so und nun bin ich mir unsicher:
> 1.) Ich würde das jetzt gerne "auseinanderziehen", also
> zu
> [mm]\phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i)+\phi(\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i)[/mm]
> umformen. Ist das überhaupt die richtie Idee?
Ja, das klingt gut.
Du musst also zeigen, dass für zwei Polynome $p,q$ gilt, dass $(p+q)(x) = p(x)+q(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] K$, denn zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Elemente des Definitionsbereichs gleich sind.
> 2.) Wenn ich recht habe, muss ich damit ich das dann so
> "auseinanderziehen" kann nicht zuerst zeigen, dass die Abb.
> [mm]\phi[/mm] linear ist?
Jain.
Das ist eine der beiden Bedingungen von Linearität, die du hier zeigen sollst.
Die andere, [mm] $\phi(s*p) [/mm] = [mm] s*\phi(p)$ [/mm] sollst du nicht zeigen sondern du musst für Ringhomomorphismus noch [mm] $\phi(p*q) [/mm] = [mm] \phi(p)*\phi(q)$ [/mm] zeigen.
Zuletzt musst du dann noch [mm] $\phi(1) [/mm] = 1$ zeigen, überlege dir dafür genau was in dem jeweiligen Ring die $1$ ist.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
> >
> > i) Zeigen sie, dass die Abb. [mm]\phi[/mm] : k[X] [mm]\rightarrow[/mm]
> > Abb(k,k) ein Ringhomo. ist.
>
> Wie sieht denn [mm]\phi[/mm] aus?
> Ist [mm]\phi(p) = (x \mapsto p(x))[/mm], also du nimmst ein Polynom
> und bildest es auf die Polynomabbildung ab?
>
Das hatte ich mich auch gefragt (wie das [mm] \phi [/mm] aussieht) und ich habe es so verstanden, wie du es schreibst.
Also ich hebe jetzt weiter:
[mm] \phi(p_1+p_2)=phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)\lambda^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*\lambda^i
[/mm]
[mm] \phi(p_1)+\phi(p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i)+\phi(\summe_{i=0}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i+\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i=\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)\lambda^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*\lambda^i
[/mm]
Und damit hätte ich dann den ersten Teil für Ringhomo. fertig, oder?
Bleibt also noch z.z.:
1.) [mm] \phi(p_1*p_2)=\phi(p_1)*\phi(p_2)
[/mm]
2.) [mm] \phi(1)=1
[/mm]
Das habe ich von dir jetzt einfach abgeschrieben. Ich wollte aber zunächst geklärt haben, ob der Teil denn schon stimmt, das gibt mir ein besseres Gefühl.
|
|
|
| |
|
> > >
> > > i) Zeigen sie, dass die Abb. [mm]\phi[/mm] : k[X] [mm]\rightarrow[/mm]
> > > Abb(k,k) ein Ringhomo. ist.
> >
> > Wie sieht denn [mm]\phi[/mm] aus?
> > Ist [mm]\phi(p) = (x \mapsto p(x))[/mm], also du nimmst ein
> Polynom
> > und bildest es auf die Polynomabbildung ab?
> >
> Das hatte ich mich auch gefragt (wie das [mm]\phi[/mm] aussieht) und
> ich habe es so verstanden, wie du es schreibst.
>
> Also ich hebe jetzt weiter:
>
> [mm]\phi(p_1+p_2)=phi(\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)\lambda^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*\lambda^i[/mm]
>
> [mm]\phi(p_1)+\phi(p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i)+\phi(\summe_{i=0}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i+\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i=\summe_{i=0}^{n}(a_i+b_i)\lambda^i+\summe_{i=n+1}^{m}b_i*\lambda^i[/mm]
>
> Und damit hätte ich dann den ersten Teil für Ringhomo.
> fertig, oder?
Jo, das sieht soweit gut aus.
> Bleibt also noch z.z.:
> 1.) [mm]\phi(p_1*p_2)=\phi(p_1)*\phi(p_2)[/mm]
> 2.) [mm]\phi(1)=1[/mm]
>
> Das habe ich von dir jetzt einfach abgeschrieben. Ich
> wollte aber zunächst geklärt haben, ob der Teil denn
> schon stimmt, das gibt mir ein besseres Gefühl.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
Schön so weit, und nun weiter:
[mm] \phi(p_1)*\phi(p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i)*\phi(\summe_{i=0}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i=a_0*\lambda^0*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i+...+a_n*\lambda^n*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i
[/mm]
[mm] \phi(p_1*p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i)=\phi(a_0*x^0\summe_{i=1}^{m}b_i*x^i+...+a_n*x^n\summe_{i=1}^{m}b_i*x^i)=a_0*\lambda^0*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i+...+a_n*\lambda^n*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i
[/mm]
[mm] \phi(1)=\phi(1*1)=\phi(1*x^0)=1*\lambda^0=1*1=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist Ringhomo.
Richtig?
|
|
|
| |
|
> Schön so weit, und nun weiter:
>
> [mm]\phi(p_1)*\phi(p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i)*\phi(\summe_{i=0}^{m}b_i*x^i)=\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i=a_0*\lambda^0*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i+...+a_n*\lambda^n*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i[/mm]
>
> [mm]\phi(p_1*p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*\lambda^i*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i)=\phi(a_0*x^0\summe_{i=1}^{m}b_i*x^i+...+a_n*x^n\summe_{i=1}^{m}b_i*x^i)=a_0*\lambda^0*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i+...+a_n*\lambda^n*\summe_{i=0}^{m}b_i*\lambda^i[/mm]
Da du die Summen nicht komplett ausrechnest wäre es schöner sie gar nicht erst auszurechnen, also
[mm] $\phi(p_1)*\phi(p_2)=\phi(\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i)*\phi(\summe_{i=0}^{m}b_i*x^i) [/mm] = ( [mm] \summe_{i=0}^n a_i*\lambda^i )(\summe_{i=0}^m b_i*\lambda^i)$ [/mm] und für das andere Produkt entsprechend.
Wenn du es doch ausrechnen möchtest hält dich natürlich keiner von ab, aber du solltest dann im letzten Schritt ein wenig klammern, damit klarer wird wo die eine Summe aufhört und die andere anfängt.
>
> [mm]\phi(1)=\phi(1*1)=\phi(1*x^0)=1*\lambda^0=1*1=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi[/mm] ist Ringhomo.
>
> Richtig?
>
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Gut, und jetzt ii), ich habe mir überlegt:
1.) injektiv:
Annahme: [mm] \phi [/mm] ist injektiv
ich betrachte für k[X]: [mm] (\IZ/4\IZ)[X]
[/mm]
[mm] p_1=1*x^0\in (\IZ/4\IZ)[X] [/mm] und [mm] p_2=3*x^1\in (\IZ/4\IZ)[X]
[/mm]
sei x=3 [mm] \Rightarrow 1*x^0=1*1=1 [/mm] und 3*x=3*3=9=1
also: [mm] p_1\not=p_2 [/mm] aber [mm] \phi(p_1)=\phi(p_2) [/mm] und somit ist [mm] \phi [/mm] nicht injektiv
2.) Und jetzt würde ich gerne die Surjektivität zeigen, leider habe ih momentan noch keine Idee.
|
|
|
| |
|
> Gut, und jetzt ii), ich habe mir überlegt:
>
> 1.) injektiv:
>
> Annahme: [mm]\phi[/mm] ist injektiv
>
> ich betrachte für k[X]: [mm](\IZ/4\IZ)[X][/mm]
Leider ist [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] kein Körper.
Davon abgesehen sollst du es für alle endlichen Körper zeigen, nicht nur für diesen (leider falschen^^) Spezialfall.
>
> [mm]p_1=1*x^0\in (\IZ/4\IZ)[X][/mm] und [mm]p_2=3*x^1\in (\IZ/4\IZ)[X][/mm]
>
> sei x=3 [mm]\Rightarrow 1*x^0=1*1=1[/mm] und 3*x=3*3=9=1
>
> also: [mm]p_1\not=p_2[/mm] aber [mm]\phi(p_1)=\phi(p_2)[/mm] und somit ist
> [mm]\phi[/mm] nicht injektiv
>
> 2.) Und jetzt würde ich gerne die Surjektivität zeigen,
> leider habe ih momentan noch keine Idee.
>
Sei $K$ ein endlicher Körper.
Du musst zeigen, dass es ein Polynom $p$ gibt, das nicht das Nullpolynom ist, aber das [mm] $\phi(p) [/mm] = 0$ erfüllt (ein Ringhomo. ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist).
Für Surjektivität musst du zeigen, dass jede Abbildung mithilfe eines Polynoms dargestellt werden kann.
Überlege dir dafür, wie du aus $n$ gegebenen Funktionswerten ein passendes Polynom basteln kannst.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Hi,
ich habe mir bislang überlegt, ich suche doch die Nullstellen des Polynoms, oder? Leider fällt mir bislang nicht mehr dazu ein, ich weiss nicht, wie ich die Tatsache nutze, dass k endlich ist. Über etwas Anlaufhilfe würde ich mich freuen.
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> ich habe mir bislang überlegt, ich suche doch die
> Nullstellen des Polynoms, oder? Leider fällt mir bislang
> nicht mehr dazu ein, ich weiss nicht, wie ich die Tatsache
> nutze, dass k endlich ist. Über etwas Anlaufhilfe würde
> ich mich freuen.
Hast du eine Funktion von $K$ nach $K$ gegeben, so kannst du diese (da $K$ endlich ist), ja explizit angeben.
Ist nämlich $K = [mm] \{ k_1, k_2, \ldots , k_n \}$ [/mm] so musst du einfach nur [mm] $f(k_i)$ [/mm] für alle $i$ angeben.
Nehmen wir also an du hast die Funktion $f$ gegeben.
Nun suchst du ein Polynom $p$, dessen Polynomfunktion [mm] $p(k_i) [/mm] = [mm] f(k_i)$ [/mm] für alle $i$ erfüllt.
Solche Aufgaben solltest du aus der Schule kennen:
Finde eine Polynomfunktion $f$, die $f(0) = 2$, $f(1) = -5$ und $f(3) = 0$ erfüllt.
Was du an dieser Stelle jetzt brauchst ist ein Beweis dafür, dass es zu endlich vielen gegebenen Punkten immer ein solches Polynom gibt.
Als Hinweis: Du kannst den Grad des Polynoms beliebig wählen.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Ich bin mir immer noch unsicher:
1. So wie ich das jetzt verstehe, .uss ich ein LGS konstruieren und dann zeigen, dass es immer lösbar ist, oder? Damit zeige ich doch dann die Surjektivität, oder?
2. Auch bei der Injektivität komme ich immer noch nicht weiter, wie kann ich denn ein Polynom [mm] p\not=0 [/mm] finden mit [mm] \phi(p)=0?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ich bin mir immer noch unsicher:
>
> 1. So wie ich das jetzt verstehe, .uss ich ein LGS
> konstruieren und dann zeigen, dass es immer lösbar ist,
> oder? Damit zeige ich doch dann die Surjektivität, oder?
Ja, das ist eine Möglichkeit.
Hattest du schon irgendwelche Verfahren, um solche Polynome zu finden?
Sagt dir vielleicht eines von diesen etwas (wenigstens vom Namen her):
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation
> 2. Auch bei der Injektivität komme ich immer noch nicht
> weiter, wie kann ich denn ein Polynom [mm]p\not=0[/mm] finden mit
> [mm]\phi(p)=0?[/mm]
Ist $K$ ein endlicher Körper, so ist $K = [mm] \{ k_1, \ldots , k_n \}$.
[/mm]
Kannst du ein Polynom angeben, dass für alle [mm] $k_i \in [/mm] K$ den Wert 0 annimmt, aber nicht das Nullpolynom ist?
Wenn dir keines einfällt versuche es mal mit konkreten Beispielen, etwa
$K = [mm] \{0,1 \}$ [/mm] oder $K = [mm] \{0,1,2\}$ [/mm] (jeweils mit den entsprechenden Verknüfpungen in [mm] $\IZ_2$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ_3$, [/mm] aber das ist an der Stelle gar nicht soo wichtig).
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 03.07.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Ich habe das jetzt so gut bearbeitet wie ich konnte. Danke für deine Hilfe bei der Lösung. Falls du noch eine Musterlsg. hast bzw. den Link dazu, sehr gerne schaue ich mir das an. :)
|
|
|
|
