Polynomidentität, Koeff-ver. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Da zwei polynome genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koeffizienten identisch sind, können wie die Identität [mm] \vektor{x+y \\ k} [/mm] = [mm] \sum_{l=0}^k \vektor{x \\ l} \vektor{y \\ k-l} [/mm] für x,y [mm] \in \IN [/mm] auch durch koeffizentenvergleich aus der simplen Polynomidentität
[mm] (1+z)^{x+y} [/mm] = [mm] (1+z)^x (1+z)^y
[/mm]
ableiten |
Hallo,
das ist eine Bemerkung aus meinen Skriptum. Leider komme ich aber nicht durch besagten Koeffizientenvergleich der [mm] z^k [/mm] an die Formel, auch nachdem ich den binomischen Lehrsatz verwendet habe..Da ich dann mehrere SUmmen habe...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Da zwei polynome genau dann gleich sind, wenn alle ihre
> Koeffizienten identisch sind, können wie die Identität
> [mm]\vektor{x+y \\ k}[/mm] = [mm]\sum_{l=0}^k \vektor{x \\ l} \vektor{y \\ k-l}[/mm]
> für x,y [mm]\in \IN[/mm] auch durch koeffizentenvergleich aus der
> simplen Polynomidentität
> [mm](1+z)^{x+y}[/mm] = [mm](1+z)^x (1+z)^y[/mm]
> ableiten
>
>
> Hallo,
> das ist eine Bemerkung aus meinen Skriptum. Leider komme
> ich aber nicht durch besagten Koeffizientenvergleich der
> [mm]z^k[/mm] an die Formel, auch nachdem ich den binomischen
> Lehrsatz verwendet habe..Da ich dann mehrere SUmmen
> habe...
Tipp: Du kennst doch sicher die Cauchy-Produktformel für Reihen:
[mm] \summe_{k=0}^\infty a_k * \summe_{l=0}^\infty b_l = \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{l=0}^{k} a_lb_{k-l} [/mm] .
Eine ähnliche Umordnung kannst du auch für das Produkt endlicher Summen machen. Es ist nur ein geschicktes Verschieben der Summationsindizes.
(Eine Möglichkeit ist es z.B., eine endliche Summe von 0 bis n als eine Reihe zu betrachten, bei der alle Terme außer denen bis n gleich Null sind. Das ist in deinem Fall ganz praktisch, weil
[mm] \vektor{n\\k} = 0 [/mm] für $k>n$
ist.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
Mhm aber:
(1+ [mm] z)^x (1+z)^y [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^x \vektor{x \\ k} z^k [/mm] * [mm] \sum_{l=0}^y \vektor{y \\ l} z^l [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \vektor{x \\ l} z^l [/mm] * [mm] \vektor{y \\ k-l}z^{k-1}
[/mm]
Wenn ich das eben auf Reihen ausdehne
auf der linken seite steht:
[mm] (1+z)^{x+y} [/mm] = [mm] \sum_{s=0}^{x+y} \vektor{x+y \\ s} z^s [/mm]
Wie gehts nun weiter mit Koeffizientenvergleich?
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Hallo sissile,
rechne doch mal ein kleines Beispiel:
[mm] (1+z)^5=(1+z)^2*(1+z)^3
[/mm]
Verwende zur Auflösung aller Potenzen links und rechts jeweils den binomischen Lehrsatz.
Und dann vergleiche mal die Koeffizienten von [mm] z^3 [/mm] auf beiden Seiten. Links ist das nur einer, rechts musst Du mehrere Produkte addieren.
Danach verstehst Du sicher auch, wie das für allgemeines "x+y" funktioniert. Die Summennotation ist manchmal ein bisschen abstrakt, auch wenn der vorliegende Fall m.E. nicht dazugehört, aber das kann man eben verschieden sehen. 
Grüße
reverend
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