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| Aufgabe | Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm]p_1,...p_n : \IR \to \IR[/mm] Polynomfunktion mit:
[mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
Zeigen Sie:[mm]p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen.
Bzw. da j aus n und somit aus N kommt wollte ich nach j eine Induktion durchführen.
Allerdings bekomm ich noch nicht mal den Anfang hin.
Ist es denn dabei relevant das die Polynomfunktion von [mm]\IR \to \IR[/mm] abbilde? Ich setze doch nur positive Zahlen ein.
Grüße,
Mareike
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> Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm]p_1,...p_n : \IR \to \IR[/mm] Polynomfunktion mit:
> [mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
> Zeigen Sie: [mm] p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm] Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
> ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
> Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen. Bzw. da j aus n und somit aus N kommt wollte ich nach j eine Induktion durchführen.
> Allerdings bekomm ich noch nicht mal den Anfang hin.
Der Anfang ist trivial: denn gilt für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] dass [mm] $p_1(x)e^{\lambda_1 x}=0$ [/mm] ist, so kann man, wegen [mm] $e^{\lambda_1 x}\neq [/mm] 0$ (für alle [mm] $x\in \IR$) [/mm] einfach diese Gleichung beidseitig durch [mm] $e^{\lambda_1x}$ [/mm] dividieren und erhält: [mm] $p_1(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Dies ist aber nur möglich, wenn [mm] $p_1=0$, [/mm] d.h. das Nullpolynom ist.
> Ist es denn dabei relevant das die Polynomfunktion von [mm]\IR \to \IR[/mm] abbilde? Ich setze doch nur positive Zahlen ein.
Ich sehe nicht, was eine Einschränkung auf $x>0$ zur Lösung dieser Aufgabe beintragen sollte.
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> Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm] [mmp_1,...p_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR[/mm] [/mm] Polynomfunktion mit:
> [mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
> Zeigen Sie:[mm] p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm]
> ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
> Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen.
Ich denke, es geht auch ohne Induktion. Da die [mm] $\lambda_j$ [/mm] paarweise verschieden sind, dürfen wir (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) annehmen, dass gerade [mm] $\lambda_1=\max\{\lambda_j \mid j=1\ldots n\}$ [/mm] ist. Dann folgt aus [mm] $\sum_{j=1}^np_j(x)e^{\lambda_j x}=0$, [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] durch Auflösen nach [mm] $p_1(x)$, [/mm] dass für alle $x$ gelten muss
[mm]p_1(x)=-\sum_{j=2}^n p_j(x)e^{(\lambda_j-\lambda_1)x}[/mm]
da aber [mm] $\lambda_j-\lambda_1<0$ [/mm] für alle $j>1$, folgt
[mm]\lim_{x\rightarrow \infty}p_1(x)=-\lim_{x\rightarrow\infty}\sum_{j=2}^n p_j(x)e^{(\lambda_j-\lambda_1)x}=0[/mm]
Für eine Polynomfunktion [mm] $p_1(x)$ [/mm] ist dies nur möglich, wenn [mm] $p_1=0$, [/mm] d.h. die Nullfunktion ist.
Diese Überlegung gilt auch im Falle $n=1$, da dann die Summe [mm] $\sum_{j=2}^1 \ldots$ [/mm] per Definition gleich $0$ ist.
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