Polynome in endlichen Körpern < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei K ein endlicher Körper. Weisen Sie nach, dass es ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[t]$ gibt, dass keine Nullstelle hat. |
Hallo!
Beim obigen Beweis habe ich Probleme :-(
Ich habe mir folgendes gedacht:
- 1) Eventuell ließe sich ja ein bestimmtes Polynom, einer bestimmten Gestalt abhängig von n, dass immer keine Nullstelle in K hat. Das habe ich aber erstmal verworfen.
- 2) Ich könnte versuchen zu zeigen, dass es in solch einem endlichen Körper immer ein nichtkonstantes Polynom gibt, dessen Polynomfunktion nicht bijektiv ist. Somit nicht surjektiv, d.h. es gibt ein Element des Körpers, das nicht erreicht wird. Dann könnte ich eine entsprechende Konstante auf das Polynom addieren, und es hätte keine Nullstelle.
Die Frage ist: Ist das in jedem endlichen Körper so? (Ich muss F2 (Körper mit 2 Elementen) ja schonmal ausschließen, da gilt es nicht, aber sonst...?
- 3) Ansonsten hätte ich noch eine Idee, die vielleicht noch dazu parallel angewandt werden muss: Wenn 2) nicht erfüllt ist, gibt es (womöglich) zwei nicht konstante Polynome, die sich nicht nur in der Konstante unterscheiden, die aber dieselbe Polynomfunktion haben. Dann bräuchte ich die nur voneinander abziehen und plus 1 zu rechnen, und ich hätte ein Polynom, dessen Polynomfunktion keine Nullstellen hat.
Frage: Führen meine Überlegungen zum Ziel? Wie genau müsste ich nun weiter verfahren? Gibt es vielleicht auch einen einfacheren Weg?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
also deine erste Idee, also ein konkretes Polynom zu konstruieren, führt hier am einfachsten zum Ziel.
Schreibe nochmal, wenn du keine Idee dafür findest.
(Über deine anderen Ideen habe ich nicht genau nachgedacht. Vielleicht führen die auch zum Ziel.)
Ich sehe gerade... das Polynom [mm]k \mapsto 1\forall k \in K[/mm] wäre eine triviale Lösung. Aber das ist wohl bei dieser Aufgabe ausgeschlossen, ne.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
Danke Alex,
habe gerade eine Seite gefunden, auf der ein Beispiel ist  :
$f = 1 + [mm] \produkt_{i=1}^{n}(t-a_{i})$
[/mm]
wobei [mm] $a_{i}\in [/mm] K$.
Kann ich das auch explizit gut aufschreiben, weil ich weiß ich ob es uns "erlaubt" ist, das so aufzuschreiben... Ich versuchs mal:
[mm] $t^{n} [/mm] + [mm] t^{n-1}*\sum_{(b_{1})\in K}a_{i} [/mm] + [mm] t^{n-2}*\sum_{(b_{1},b_{2})\in K^{2}, b_{1}\not= b_{2}}b_{1}*b_{2} [/mm] + [mm] t^{n-3}*\sum_{(b_{1},b_{2},b_{3})\in K^{3}, b_{i}\mbox{ paarweise verschieden}}b_{1}*b_{2}*b_{3} [/mm] + ... + [mm] a_{1}*...*a_{n}$
[/mm]
Wäre das so okay?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> habe gerade eine Seite gefunden, auf der ein Beispiel ist
> :
>
> [mm]f = 1 + \produkt_{i=1}^{n}(t-a_{i})[/mm]
>
> wobei [mm]a_{i}\in K[/mm].
und $K = [mm] \{ a_1, \dots, a_n \}$ [/mm] ist. Genau :)
> Kann ich das auch explizit gut aufschreiben, weil ich
> weiß ich ob es uns "erlaubt" ist, das so aufzuschreiben...
> Ich versuchs mal:
>
> [mm]t^{n} + t^{n-1}*\sum_{(b_{1})\in K}a_{i} + t^{n-2}*\sum_{(b_{1},b_{2})\in K^{2}, b_{1}\not= b_{2}}b_{1}*b_{2} + t^{n-3}*\sum_{(b_{1},b_{2},b_{3})\in K^{3}, b_{i}\mbox{ paarweise verschieden}}b_{1}*b_{2}*b_{3} + ... + a_{1}*...*a_{n}[/mm]
>
> Wäre das so okay?
Da fehlen ein paar Vorzeichen, und zwar muss vor [mm] $t^{n-1}$ [/mm] ein Minus, vor [mm] $t^{n-3}$ [/mm] ein Minus, ...
Weiterhin felt da die 1. Und du kannst noch benutzen dass [mm] $a_1 \cdots a_n [/mm] = 0$ ist.
Abgesehen davon ist's aber ok.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ok, danke Felix für die Korrektur ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da habe ich wohl mal wieder einiges durcheinander geworfen...
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
