Polynome: Dimension und Lin.TR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Do 27.01.2005 | | Autor: | Buchanan |
Könntet ihr mir folgende Fragen beantworten, da ich echt nicht mehr weiter weiss bzw. keine Vorstellungsgabe besitze(anscheinend)
welche der folgenden Mengen sind affine Unterräume des reellen Vektorraumes V=IR[X] der polynome mit reellen Koeffizienten? Welche der Mengen sind sogar lineare Teilräume?
{f [mm] \in [/mm] V; f(0) +f(1) + f (2) = 3}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0)=1,f(1)=0}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0)=0,f'(0)=1}
{f [mm] \in [/mm] V; [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx}=f'(1) - f'(0}
{f [mm] \in [/mm] V; f(0) * [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx} = 1}
exemplarisch das system erklären wäre wichtiger als die explizite Lösung.
Auch so eine verdammte Frage ist weiderum: Bilden die Polynome [mm] (X+1)^n [/mm] für n /ge 0 eine Basis von R[X]?
Ich wäre euch zu großem Dank verpflichtet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> welche der folgenden Mengen sind affine Unterräume des
> reellen Vektorraumes V=IR[X] der polynome mit reellen
> Koeffizienten? Welche der Mengen sind sogar lineare
> Teilräume?
Du kennst sicherlich die Definitionen der Begriffe. Im Prinzip musst du diese nur ueberpruefen. Gehen wir das mal am Beispiel der ersten Menge durch:
[mm]U = \{f \in V; f(0) +f(1) + f (2) = 3\}[/mm]
Schauen wir mal, ob es sich um einen Untervektorraum handelt (also einen linearen Teilraum): Ein solcher muss den Nullvektor enthalten.
Was ist der Nullvektor von V? Das ist das Nullpolynom, n(x) = 0. Erfuellt nun n die gestellte Bedingung n(0) + n(1) + n(2) = 3? Nein. Also ist U kein linearer Teilraum.
Bleibt die Frage, ob es sich um einen affinen Teilraum handelt. Dazu muesstest du mir kurz erklaeren, was das ist (hab keine Lust, nachzuschauen).
> Auch so eine verdammte Frage ist weiderum: Bilden die
> Polynome [mm](X+1)^n[/mm] für n /ge 0 eine Basis von R[X]?
Du hast also die Polynome
X+1, [mm] (X+1)^2, (X+1)^3, [/mm] ...
Die bilden keine Basis des R-Vektorraums R[X], weil sich z.B. der Vektor 1 nicht darstellen laesst. Um das zu zeigen, beweist du, dass jedes Polynom, dass sich als Linearkombination der gegebenen Polynome darstellen laesst, durch (X+1) teilbar ist.
Fuegst du [mm] (X+1)^0 [/mm] = 1 hinzu, erhaeltst du eine Basis.
Gruss,
SirJective
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