Polynome, Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Sa 17.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $V:=\mathbb{R}_3[T]$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$
I) Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $B=\{1, T, T^2, T^3\}$ [/mm] eine Basis von V ist.
II) Gegeben sei die lineare Abbildung
[mm] $\Phi: V\to [/mm] V$
mit
[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0$
[/mm]
für [mm] $p\in [/mm] V$.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm] $\Phi$ [/mm] bezüglich der Basis $B$ und berechnen Sie die Determinante von [mm] $\Phi$. [/mm] |
Hi, ich würde mich über Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.
Wenn ich zeigen will, dass B eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ ist, dann muss ich ja zeigen, dass B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
[mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] hätte ja eine solche "Form":
[mm] $p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0$
[/mm]
Nun ja, dass B linear unabhängig ist, ist eigentlich klar, weil sich die Elemente ja alle im Grad von T unterscheiden. Also sind sie untereinander auf keinen Fall als Linearkombination darstellbar. Und das B den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 3 erzeugt ist ja auch leicht einzusehen, aber ich weiß leider nicht wie ich dies Formal "nachrechnen" kann.
Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.
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> Sei [mm]V:=\mathbb{R}_3[T][/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm]
>
> I) Zeigen Sie, dass die Menge [mm]B=\{1, T, T^2, T^3\}[/mm] eine
> Basis von V ist.
>
> II) Gegeben sei die lineare Abbildung
>
> [mm]\Phi: V\to V[/mm]
>
> mit
>
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]
>
> für [mm]p\in V[/mm].
> Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm]\Phi[/mm]
> bezüglich der Basis [mm]B[/mm] und berechnen Sie die Determinante
> von [mm]\Phi[/mm].
>
> Hi, ich würde mich über Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.
>
> Wenn ich zeigen will, dass B eine Basis des Vektorraums der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] ist, dann muss ich ja zeigen, dass
> B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
>
> [mm]\mathbb{R}_3[T][/mm] hätte ja eine solche "Form":
>
> [mm]p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0[/mm]
Hallo,
die Elemente von [mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] sehen so aus,
und damit ist es offensichtlich, daß B ein Erzeugendensystem von [mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] ist.
>
> Nun ja, dass B linear unabhängig ist,
muß man nun zeigen, und man macht das genau wie immer:
Man zeigt, daß aus [mm] a_3T^3+a_2T^2+a_1T+a_0=Nullpolynom [/mm] folgt, daß die [mm] a_i [/mm] allesamt =0 sind.
Benötigen tut man die Def. der Gleichheit von Polynomen: "Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen".
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 18.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann folgt [mm] $a_3T^3+a_2T^2+a_1T+a_0=0\cdot T^3+0\cdot T^2+0\cdot [/mm] T+0$
[mm] $a_3=a_2=a_1=a_0=0$ [/mm]
direkt aus einem Koeffizientenvergleich, wenn ich es so aufschreibe wie oben getan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 18.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie kann ich nun hier die Darstellende Matrix angeben?
[mm] $\Phi: V\to [/mm] V$
[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p$
[/mm]
[mm] $p\in [/mm] V$
$p(1)=1$
das ist ja eine Eigenschaft einer linearen Abbildung.
[mm] $p(T)=5T^2p_2+Tp_1+p$
[/mm]
[mm] $p(T^2)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^2$ [/mm] und dies nun ausmultiplizieren? Ebenso dann
[mm] $p(T^3)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^3$
[/mm]
das macht aber irgendwie wenig Sinn. Dann hätte ich ja etwas 6ten Grades, oder zählen für die Darstellungsmatrix dann auch nur die Koeffizienten der Summanden von Grad höchstens 3?
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> Wie kann ich nun hier die Darstellende Matrix angeben?
>
> [mm]\Phi: V\to V[/mm]
>
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]
Hallo,
die Abbildungsvorschrift ist also diese:
für [mm] p\in [/mm] V mit [mm] p=p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0 [/mm] ist
[mm] \Phi(p):=5T^2p_2+Tp_1+p_0.
[/mm]
Vielleicht rechnest Du einfach mal aus Spaß an der Freud' (und damit Du die Abbildungsvorschrift verstehst) aus
[mm] \Phi(T^3+2T^2+T)=
[/mm]
[mm] \Phi(4T^2+1)=
[/mm]
[mm] \Phi(2T^3)=
[/mm]
>
> [mm]p\in V[/mm]
>
> [mm]p(1)=1[/mm]
>
> das ist ja eine Eigenschaft einer linearen Abbildung.
??? Irgendwie nicht...
p ist auch keine Lineare Abbildung...
Zu berechnen sind [mm] \Phi(1), \Phi(T), \Phi(T^2), \Phi(T^3), [/mm]
und ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst.
LG Angela
>
> [mm]p(T)=5T^2p_2+Tp_1+p[/mm]
>
> [mm]p(T^2)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^2[/mm] und dies nun ausmultiplizieren?
> Ebenso dann
>
> [mm]p(T^3)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^3[/mm]
>
> das macht aber irgendwie wenig Sinn. Dann hätte ich ja
> etwas 6ten Grades, oder zählen für die Darstellungsmatrix
> dann auch nur die Koeffizienten der Summanden von Grad
> höchstens 3?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 18.05.2014 | | Autor: | YuSul |
"ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst."
Ich bin immer für negative Überraschungen gut...
[mm] $\Phi(1)=p_0
[/mm]
[mm] \Phi(T)=p_1T
[/mm]
[mm] \Phi(T^2)=5p_2T^2
[/mm]
[mm] \Phi(T^3)=0$
[/mm]
Das ist bestimmt falsch, Entschuldigung. :(
Ich verstehe leider nicht für was ich hier den Wert einsetzen soll.
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> "ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst."
>
> Ich bin immer für negative Überraschungen gut...
Hallo,
die richtigen Lösungen bekommst Du, wenn Du Dir klarmachst, daß
>
> [mm] \Phi(1)=
[/mm]
[mm] \Phi(0*T^3+0*T^2+0*T+1*1)=...
[/mm]
> [mm]\Phi(T)=[/mm]
[mm] \Phi(0*T^3+0*T^2+1*T+0*1)=...
[/mm]
> [mm]\Phi(T^2)=[/mm]
[mm] \Phi(0*T^3+1*T^2+0*T+0*1)=...
[/mm]
> [mm]\Phi(T^3)=[/mm]
[mm] \Phi(1*T^3+0*T^2+0*T+0*1)=...
[/mm]
>
> Das ist bestimmt falsch, Entschuldigung. :(
Entschuldigen mußt Du Dich nicht.
Das Forum ist doch zum Fehlermachen da.
Hier zählt das ernsthafte Bemühen und der Willen, nachzudenken.
> Ich verstehe leider nicht für was ich hier den Wert
> einsetzen soll.
Ich behalte meinen Optimismus: jetzt ist's bestimmt klar!
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 18.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Im Grunde habe ich schon so bei meinem ersten Versuch gedacht.
Ist die Lösung dann vielleicht einfach
[mm] $\Phi(1)=1
[/mm]
[mm] \Phi(T)=1
[/mm]
[mm] \Phi(T^2)=1
[/mm]
[mm] \Phi(T^3)=1$
[/mm]
Wobei für die Darstellungsmatrix ich auch die anderen Koeffizienten, die nun alle Null sind auch noch betrachten müsste.
Dann würde ich folgende erhalten:
[mm] $\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}$
[/mm]
Wobei ich mir mit [mm] $\Phi(T^3)$ [/mm] nicht ganz sicher bin, ob es 1 oder Null ist, weil in der Abbildung [mm] T^3 [/mm] gar nicht vorkommt, also
[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0$
[/mm]
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Hallo,
wir wollen die darstellende Matrix bestimmen für die Abbildung [mm] \Phi [/mm] mit
$ [mm] \Phi(p):=5T^2p_2+Tp_1+p_0 [/mm] $ für alle Polynome [mm] $p=p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0 [/mm] $ .
> Ist die Lösung dann vielleicht einfach
>
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]
> [mm]\Phi(T)=1[/mm]
> [mm]\Phi(T^2)=1[/mm]
> [mm]\Phi(T^3)=1$[/mm]
Hm. Meinst Du nicht, daß die Funktionswerte etwas mit der Abbildungsvorschrift zu tun haben sollten?
Ich mache jetzt mal ein Beispiel für Dich:
[mm] \Phi(5T^3+6T^2+4)=\Phi(5T^3+6T^2+0T+4)=5T^2*6+T*0+4=30T^2+4
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, dann lag ich also doch mit meiner angehängten Mitteilung richtig.
Also
[mm] $\Phi(1)=1
[/mm]
[mm] \Phi(T)=1
[/mm]
[mm] \Phi(T^2)=5
[/mm]
[mm] \Phi(T^3)=0$
[/mm]
Die Darstellungsmatrix lautet dann
[mm] $\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&5&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$
[/mm]
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> Also
>
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]
> [mm]\Phi(T)=1[/mm]
> [mm]\Phi(T^2)=5[/mm]
> [mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]
Hallo,
nein, richtig wäre
[mm]$\Phi(1)=1[/mm]
[mm]\Phi(T)=1[/mm]T
[mm]\Phi(T^2)=5[/mm][mm] T^2
[/mm]
[mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]
>
> Die Darstellungsmatrix lautet dann
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&5&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}[/mm]
Nein.
In der Darstellungsmatrix bzgl der Basis B:=(1, T, [mm] T^2, T^3) [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
Es ist [mm] \Phi(1)=1=1*1+0*T+0*T^2+0*T^3=\vektor{1\\0\\0\\0}_{(B)},
[/mm]
und das wäre die erste Spalte der gesuchten Matrix.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Im Grunde habe ich schon so bei meinem ersten Versuch
> gedacht.
>
> Ist die Lösung dann vielleicht einfach
>
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]
O.K.
> [mm]\Phi(T)=1[/mm]
Nein, sondern [mm]\Phi(T)=T[/mm]
> [mm]\Phi(T^2)=1[/mm]
Nein, sondern [mm]\Phi(T^2)=5T^2[/mm]
> [mm]\Phi(T^3)=1$[/mm]
nein, sondern [mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]
>
> Wobei für die Darstellungsmatrix ich auch die anderen
> Koeffizienten, die nun alle Null sind auch noch betrachten
> müsste.
>
> Dann würde ich folgende erhalten:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}[/mm]
Das stimmt nicht.
FRED
>
> Wobei ich mir mit [mm]\Phi(T^3)[/mm] nicht ganz sicher bin, ob es 1
> oder Null ist, weil in der Abbildung [mm]T^3[/mm] gar nicht
> vorkommt, also
>
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, und wie sieht dann die Darstellungsmatrix aus? Einfach mit Polynomen als Einträge?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hmm, und wie sieht dann die Darstellungsmatrix aus? Einfach
> mit Polynomen als Einträge?
???
So:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&5&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix} [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, stimmt....
Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch nicht...
Vielen Dank.
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> Okay, stimmt....
Ja, der Fred, der kann das.
>
> Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch
> nicht...
??? Was Du damit wohl meinst...
Alles muß beachtet werden, und wenn man alles beachtet, bekommt man die richtige Matrix.
LG Angela
>
> Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Okay, stimmt....
Hallo Angela,
>
> Ja, der Fred, der kann das.
ich danke für das Vertrauen ...
Gruß FRED
>
> >
> > Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch
> > nicht...
>
> ??? Was Du damit wohl meinst...
>
> Alles muß beachtet werden, und wenn man alles beachtet,
> bekommt man die richtige Matrix.
>
> LG Angela
> >
> > Vielen Dank.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Damit meinte ich, dass wenn man zum Beispiel die Gleichung
3a+4b+5c=6 hat man später in der Matrix auch nicht das a, b oder c hinschreiben würde.
Vielen Dank für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 18.05.2014 | | Autor: | YuSul |
oder wäre [mm] $\Phi(T^2)=5$ [/mm] und dann [mm] $\Phi(T^3)=0$, [/mm] weil dies ja die Abbildungsvorschrift "macht".
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