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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 25.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Hallo!
Bin seit zwei Wochen Student und habe bereits zwei Fragen:
Mir wurde beigebracht, die Taylor-Reihe nach
[IMG]http://upload.wikimedia.org/math/4/6/e/46e200d02b55388ec02ecf8936e23210.png[/IMG]
zu bilden. Kein Problem wenn ich einen Punkt gegeben habe. Aber wie berechne ich eine Taylor-Reihe, z.B. für Sinus x, wenn kein Punkt gegeben ist, sozusagen als Substituenten?
Zweite Frage: Mir wird ein Polynom vorgegeben. Wie berechne ich die Konvergenzfunktion? Jedes Polynom ist eine Taylor-Reihe und als solches gibt es eine Konvergenzfunktion, aber ich weiss nicht wie man zurückrechnet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DBlank und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo!
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> Bin seit zwei Wochen Student und habe bereits zwei Fragen:
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> Mir wurde beigebracht, die Taylor-Reihe nach
>
> [Externes Bild http://upload.wikimedia.org/math/4/6/e/46e200d02b55388ec02ecf8936e23210.png]
>
> zu bilden. Kein Problem wenn ich einen Punkt gegeben habe.
> Aber wie berechne ich eine Taylor-Reihe, z.B. für Sinus x,
> wenn kein Punkt gegeben ist, sozusagen als Substituenten?
Wenn die Entwicklungsstelle nicht angegeben ist, meint man in aller Regel die Stelle [mm]a=0[/mm]
>
> Zweite Frage: Mir wird ein Polynom vorgegeben. Wie berechne
> ich die Konvergenzfunktion?
Was ist das?
> Jedes Polynom ist eine
> Taylor-Reihe und als solches gibt es eine
> Konvergenzfunktion, aber ich weiss nicht wie man
> zurückrechnet.
Wenn du ein Polynom gegeben hast, so ist es seine Taylorreihe (um a=0); diese hat dann nur endlich viele Summanden [mm]\neq 0[/mm], nämlich genau diejenigen, die in der Ausgangsdarstellung des Polynoms vorkommen.
Wenn du ein Polynom in eine Taylorreihe um eine Stelle [mm]a\neq 0[/mm] bringen sollst, kannst du wie gehabt mit der Formel wie im link rechnen ...
Gib aber mal ein konkretes Beispiel, dann kann man sich besser vorstellen, was genau du meinst ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 25.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort. Frage 1 hat sich geklärt. Zu Frage 2: Ich habe folgende Funktionen gegeben:
http://s14.directupload.net/images/121025/rbei8549.png
Aufgabe lautet: "Berechnen sie die Konvergenzfunktionen dieser Reihen.
Hinweis: Im ersten Fall berechne man zuerst die Ableitung f'(x); im zweiten Fall substituiere man u = -x"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Vielen Dank für die Antwort. Frage 1 hat sich geklärt. Zu
> Frage 2: Ich habe folgende Funktionen gegeben:
>
> http://s14.directupload.net/images/121025/rbei8549.png
>
> Aufgabe lautet: "Berechnen sie die Konvergenzfunktionen
> dieser Reihen.
>
> Hinweis: Im ersten Fall berechne man zuerst die Ableitung
> f'(x); im zweiten Fall substituiere man u = -x"
Mit konvergenzfunktion ist die Summenfunktion einer Funktionenreihe gemeint.
Beispiel: geometrische Reihe [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] (|x|<1)
Für |x|<1 ist [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 25.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Ok, jetzt komm ich der Lösung schon näher. Wie man von der Summendarstellung auf die Summenformel kommt, war allerdings in keiner Vorlesung Thema.
Gibt es eine andere Methode als Beispielfälle zur Hilfe zu nehmen und abzuwandeln?
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An sich steht das Wichtigste zu beiden Polynomen bereits im Hinweis.
Bilde einfach mal die erste Ableitung des ersten Polynoms und schaue, was du damit erreichen kannst. Denke daran, was du erzielen willst: eine Grenzfunktion, gegen die das Polynom konvergiert.
P.S.: Viel Erfolg bis um 12.00 Uhr. Wenn du es definitiv bis dahin nicht schaffst, kann ich ich dir notfalls auch die ganze Lösung geben, aber es wäre natürlich besser, wenn du es selbst schaffen würdest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 27.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Tut mir Leid, ich hab bei den Polynomen wenig Durchblick. Die Ableitungsfunktion f'(x) sieht dann doch so aus:
[mm] \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1} - x^{n}}{n^{2} }
[/mm]
Aber diese Funktion gibt ja nur die Steigung an verschiedenen Punkten an. Was sagt mir das für die Grenzfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ableitung ist falsch. Du kannst doch sicher [mm] x^n [/mm] ableiten?
dann sieh dir die Ableitungen für x=0 an, und überlege ob du dann die fkt kennst.
vielleich schreibst du auch mal die a
Ableitung der geometrischen Reihe hin !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 27.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Ableitung [mm] x^{n} [/mm] ist doch [mm] nx^{n-1} [/mm] ? Nach der Ableitungsmethode:
[mm] \frac{Ableitung Nenner \times Ableitung Zähler - Ableitung Zähler \times Ableitung Nenner}{Ableitung Nenner^{2}}
[/mm]
bin ich auf obige Ableitungsfunktion gekommen. Wo liegt der Fehler?
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Hallo DBlank,
> Ableitung [mm]x^{n}[/mm] ist doch [mm]nx^{n-1}[/mm] ? Nach der
Ja.
> Ableitungsmethode:
>
> [mm]\frac{Ableitung Nenner \times Ableitung Zähler - Ableitung Zähler \times Ableitung Nenner}{Ableitung Nenner^{2}}[/mm]
>
Es muss hier doch stehen:
[mm]\frac{Ableitung Nenner \times \blue{Zaehler} - Ableitung Zaehler \times \blue{ Nenner}}{\blue{Nenner}^{2}}[/mm]
> bin ich auf obige Ableitungsfunktion gekommen. Wo liegt
> der Fehler?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 28.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Dann habe ich komplett falsch abgeleitet. Stimmt denn:
[mm] \frac{x^{n}-nx^{n-1} }{n^{2} } [/mm]
Dann setzte ich x=0 nach dem bereits gegebenem Tipp und erhalte dann für n=1 => -1 und für alle anderen n => 0.
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Hallo DBlank,
> Dann habe ich komplett falsch abgeleitet. Stimmt denn:
>
> [mm]\frac{x^{n}-nx^{n-1} }{n^{2} }[/mm]
>
Das ist die Ableitung von [mm]-\bruch{x^{n}}{n}[/mm]
Sorry, die Ableitungsfunktion muss lauten:
[mm]\frac{Ableitung Zaehler \times Nenner - Zaehler \times Ableitung Nenner}{Nenner^{2}}[/mm]
> Dann setzte ich x=0 nach dem bereits gegebenem Tipp und
> erhalte dann für n=1 => -1 und für alle anderen n => 0.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 28.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Nächster Versuch:
[mm] \frac{n^{2}x^{n-1}-x^{2} }{n^{2} } [/mm]
Jetzt richtig?
Dann ist für x=0 erst:
[mm] \frac{n^{2}0^{n-1}} {n^{2} } [/mm]
[mm] n^{2} [/mm] kürzt sich raus, bleibt
[mm] 0^{n-2} [/mm]
Für die Summenformel der Ableitung also:
[mm] \sum\limits_{n=1}^\infty 0^{n-1} [/mm]
Ergibt sich also 1+0+0+0 etc. etc.
Beim Wert x=1:
[mm] \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{2} }{n^{2} } [/mm]
ebenfalls 1.
Da die Konvergenzfunktion die selbe Steigung haben muss, wäre sie demnach f(x) = x ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 So 28.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a*x^n [/mm] abgeleitet ergibt [mm] a*n*x^{n-1}
[/mm]
mit a=1/n ist das [mm] x^{n-1} [/mm] eine Zahl abgeleitet ergibt 0 wenn du schon mit der hier unnötigen quotientenregel arbeiten musst!
2. [mm] x^{1-1}=x^0=1
[/mm]
also hast du 2 Fehler!
Die Konvergenzfkt muss nicht nur die 1. Ableitung bei 0 gemeinsam haben, sondern ALLE Ableitungen!
du hast mit der ableitung doch die geometrische Reihe gefunden, deren Konvergenzfkt kennst du, was ist dann die KD der ursprünflichen Reuhe? du kennst f' was ist f?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 28.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Verstehe jetzt was ich bei der Ableitung falsch gemacht habe.
Also muss ich nur noch die Stammfunktion der Konvergenzfunktion der Ableitung bilden!
Erstmal sollte ich [mm] \sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1} [/mm] mit [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n} [/mm] gleichsetzten können, richtig?
Konvergenzfunktion von [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n} [/mm] ist
[mm] \frac{1-x^{k-1} }{1-x} [/mm]
allerdings weiss ich jetzt nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 28.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die kFkt ist falsch. was soll denn k sein?
und wenn du die kfkt der geom. Reihe hast und weisst, dass das genau oder beinahe die Ableitung der anderen fkt ist. wie kommt man von der Ableitung einer fkt zu der fkt? (Schulwissen)
überprüfen kannst du eine Vermutung indem du die ersten paar Ableitungen bei 0 ausrechnest, die müssten damm mit der Taylorreihe übereinstimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 28.10.2012 | | Autor: | DBlank |
Nach
[mm] \sum\limits_{k=0}^n q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1} }{1-q} [/mm]
ist die Konvergenzfunktion doch
[mm] \frac{1-q^{\infty +1} }{1-q} [/mm]
oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Mo 29.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
und was ist für q<1 [mm] q^{infty}, [/mm] was man eigentlich nicht schreiben sollte.
Gruss leduart
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