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Polynome: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:40 Mo 18.06.2012
Autor: mathemaus2010

Aufgabe
Sei K ein Körper. Wir definieren die Abbildung

Spur: [mm] K^{n,n} [/mm] -> K , A = [ aij ] [mm] \mapsto [/mm] Spur (A) : = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] aii

Seien A, B [mm] \in K^{n,n}. [/mm] Zeigen oder wiederlegen Sie:


(i) Es gilt Spur(AB) = Spur(BA).
(ii) Sind A und B ähnlich, so gilt Spur(A) = Spur(B).
(iii) Hat p = [mm] t^{n} +a_{n-1} t^{n-1} [/mm] +...+ [mm] a_{1} [/mm] t + [mm] a_{0} \in [/mm] K[t] die n Nullstellen [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n} \in [/mm] K, so
gilt [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] .
(iv) Ist [mm] P_{A} [/mm] =  [mm] \produkt_{i=1}^{n}( [/mm] t - [mm] \lambda_{i} [/mm] ) das charakteristische Polynom von A , so ist Spur(A) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] .

Hallo =)

Und mal wieder benötige ich eure Hilfe ....

Ich fange erstmal damit an, was ich habe:

(i) B = [ bij ] [mm] \mapsto [/mm] Spur (B) : = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] bii

Dann AB=  [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{kj} [/mm]

BA = [mm] \summe_{k=1}^{n} b_{ik} [/mm] * [mm] a_{kj} [/mm]

und Spur (AB) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{ki} [/mm]

Spur(BA) =  [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} b_{ik} [/mm] * [mm] a_{ki} [/mm]

= [mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] * [mm] b_{ik} [/mm]

= [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{ki} [/mm]

Damit ist Spur (AB) = Spur (BA).

(ii) Wenn A, B ähnlich, dann existiert S  [mm] \in [/mm] Gl (n,K) , sodass B = [mm] S^{-1}AS. [/mm]
Das bedeutet:

Spur(B) = Spur( [mm] S^{-1}AS) [/mm] = Spur [mm] (S^{-1}(AS))= [/mm] Spur [mm] ((AS)S^{-1}) [/mm] = Spur [mm] (ASS^{-1}) [/mm] = Spur(A).

Damit gilt Spur (A) = Spur (B).

(iii) Hier fängt es schon an zu hapern. Ich habe dies erstmal für ein Polynom 2. Grades getestet: p =  [mm] x^{2} [/mm] + 4x + 3. Die beiden Nullstellen sind [mm] x_{1} [/mm] = -3
und [mm] x_{2} [/mm] = -1 .  

4= [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] = -(-3)-(-1)=4

Also gilt es für diesen einen speziellen Fall, aber ob es für alle Fälle gilt, das weiß ich nicht. Ich habe auch keine Idee, wie ich jetzt weiter gehen könnte. Und wie ich das für alle Polynome beweisen könnte.

(iv) Hierzu habe ich noch gar nichts. Jedoch denke ich, dass das nicht gilt und ich es wiederlegen muss, da in der Aufgabe ja steht: Zeige oder wiederlege.


Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

lg Mathemaus  



        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mo 18.06.2012
Autor: hippias


>  
> (iii) Hier fängt es schon an zu hapern. Ich habe dies erstmal für ein Polynom 2. Grades getestet: p =  [mm]x^{2}[/mm] + 4x + 3. Die beiden Nullstellen sind [mm]x_{1}[/mm] = -3
>  und [mm]x_{2}[/mm] = -1 .  
>
> 4= [mm]a_{n-1}[/mm] = - [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm] = -(-3)-(-1)=4
>
> Also gilt es für diesen einen speziellen Fall, aber ob es für alle Fälle gilt, das weiß ich nicht. Ich habe auch keine Idee, wie ich jetzt weiter gehen könnte. Und wie ich das für alle Polynome beweisen könnte.
>  
> (iv) Hierzu habe ich noch gar nichts. Jedoch denke ich, dass das nicht gilt und ich es wiederlegen muss, da in der Aufgabe ja steht: Zeige oder wiederlege.
>  
>
> Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
>
> lg Mathemaus  
>

Die Nummern iii) und iv) haengen eng zusammen: Versuche das Polynom in iii) wie in iv) zu schreiben. Durch ausmultiplizeren und Koeffizientenvergleich kannst Du versuchen die Behauptung zu beweisen.

Bezug
                
Bezug
Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 18.06.2012
Autor: mathemaus2010

meinst du in Produktschreibweise?

Bezug
                        
Bezug
Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Mo 18.06.2012
Autor: mathemaus2010

[mm] a_{0} [/mm] + [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n-1} t^{n-1} [/mm] das ist das einzige, was mir jetzt dazu einfallen würde...

Bezug
                                
Bezug
Polynome: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:01 Di 19.06.2012
Autor: mathemaus2010

ich habe oben einen Fehler gemacht. p =  [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n-1} t^{n-1} [/mm] ist richtig. aber ich habe keine ahnung wie mir das jetzt weiterhelfen kann? HILFE!!!

Bezug
                        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:26 Di 19.06.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

hat p = $ [mm] t^{n} +a_{n-1} t^{n-1} [/mm] $ +...+ $ [mm] a_{1} [/mm] $ t + $ [mm] a_{0} \in [/mm] $ K[t] die n Nullstellen $ [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n} \in [/mm] $ K, so zerfällt es in Linearfaktoren, und Du kannst schreiben
[mm] p=(t-x_1)(t-x_2)...(t-x_n). [/mm]

Nun überlege Dir, was Du beim Ausmultiplizieren vor dem [mm] t^{n-1} [/mm] stehen hast.

LG Angela


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