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| Aufgabe | 1. Das Polynom [mm] x^4-x^3-10x^2-x+1 [/mm] besitzt vier verschiedene reelle Nullstellen
2. Jedes Polynom ungeraden Grades, [mm] \summe_{k=0}^{2n+1} a_k x^k [/mm] mit [mm] n\in \IN, a_k\in \IR [/mm] und [mm] a_{2n+1}\not=0, [/mm] hat eine reelle Nullstelle |
zu 1.
Genügt es die Nullstellen mit der Polynomdivison zu berechen? Oder muss ich noch irgendwas zeigen.
zu 2.
zunächst einmal eine Frage zum Verständnis:
Die Aufgabenstellung sagt aus: Wenn ich z.B. eine Funktion 5. Grades habe, dann hat die Funktion auch 5 Nullstellen. D.h. pro Polynom kommt eine Nullstelle dazu.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden hab, wie fange ich mit dem Beweis an?
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Hallo TrockenNass,
> 1. Das Polynom [mm]x^4-x^3-10x^2-x+1[/mm] besitzt vier verschiedene
> reelle Nullstellen
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> 2. Jedes Polynom ungeraden Grades, [mm]\summe_{k=0}^{2n+1} a_k x^k[/mm]
> mit [mm]n\in \IN, a_k\in \IR[/mm] und [mm]a_{2n+1}\not=0,[/mm] hat eine
> reelle Nullstelle
> zu 1.
> Genügt es die Nullstellen mit der Polynomdivison zu
> berechen?
Das kannst du versuchen. Wenn du die 4 Nullstellen explizit angeben kannst, bist du fertig.
> Oder muss ich noch irgendwas zeigen.
Vllt. ist es einfacher, das Polynom zu zerlegen ist [mm](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/mm] mit noch zu ermittelnden Koeffizienten [mm]a,b,c,d[/mm].
Dann kannst du die verbleibenden quadrat. Polynome untersuchen - dafür gibt's ja Formeln ...
Ansonsten kannst du auch den Zwischenwertsatz nutzen, Polynome sind ja stetig, suche dir Intervalle [mm][a,b][/mm] mit [mm]p(a)<0[/mm] und [mm]p(b)>0[/mm] (oder umgekehrt und wende den ZWS an
>
> zu 2.
> zunächst einmal eine Frage zum Verständnis:
> Die Aufgabenstellung sagt aus: Wenn ich z.B. eine Funktion
> 5. Grades habe, dann hat die Funktion auch 5 Nullstellen.
Nein, da steht doch nur: es gibt EINE Nullstelle
> D.h. pro Polynom kommt eine Nullstelle dazu.
Was meinst du mit "Da kommt ein Polynom dazu" ??
Die Summenschreibweise ist doch nur eine abkürzende Darstellung für ein Polynom ungeraden Grades.
Ausgeschrieben steht da: Zeige, dass für bel. [mm]n\in\IN[/mm] das Polynom [mm]a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\ldots+a_1x+a_0[/mm] ([mm]a_{2n+1}\neq 0[/mm]) (mind.) eine reelle NST hat.
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden hab, wie fange ich
> mit dem Beweis an?
Nutze die Stetigkeit von Polynomen und den ZWS.
Was kann für [mm]x\to\pm\infty[/mm] passieren?
Tipp: Fallunterscheidung bzg. [mm]a_{2n+1}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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