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| Aufgabe | | Stellen sie die Liste aller irreduziblen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 4 zusammen, die ihre Koeffizienten in [mm] \IZ_{2} [/mm] haben. |
Also ich hab jetzt erst mal alle Aufgestellt das sind 31...
Davon habe ich jetzt erst mal alle durch x gesteilt, da sind schon einige weggeflogen, dann habe ich die mit Rest noch durch (x+1) geteilt und die die dann noch übrig waren durch [mm] (x^2+x+1) [/mm] und die die dann übrig waren + 1=0 , x=0 , (x+1)=0 sind meine irreduzieblen Polynome.....
Jetzt meine Frage....gehört [mm] (x^2+x+1) [/mm] auch zu den irreduzieblen Polynomen?
Mit dem hätte ich dann 9 ansonsten 8....
Und wie ist das...ich bin ja im modulo 2 das heißt es existieren nur 0 und 1....
Wenn ich teile wann muss ich die 2 zur 0 werden lassen, oben im Ergebnis erst oder schon gleich beim schriftlichen teilen unten.....
Wäre schön, wenn mir das mal einer sagen kann....
Danke schön.....
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Kathinka |
hallöchen
auch mathe johannson hm =)
ich habe insgesamt auch 31 polynome gefunden, aber wieso hast du die durch x bzw (x+1) geteilt?
und vielleicht hast du ja verstanden was genau irreduzibel heisst... was wahrscheinlich mit dem teilen zusammenhängt =)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 So 15.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Katja
irreduzibel heisst, dass man das Polynom nicht in Faktoren zerlegen kann.
z. Bsp [mm] x^{2}=x*x [/mm] ist reduzibel. [mm] 1+x^{2}=(1+x)*(1+x) [/mm] ist reduzibel
[mm] 1+x+x^{2} [/mm] kann man weder durch 1+x, noch durch x teilen, andere mögliche Faktoren gibt es nicht, also ist es irreduzibel. [mm] 1+x^{3} [/mm] hat die Nullstelle 1 ist also durch x-1=x+1 teilbar, also reduzibel. usw
Ich hoff, damit ist alles klar! (kann man aber im zweifelsfall in jedem passablen mathelexikon oder im Netz suchen.
Ganz kann ich nicht verstehen, wie man ne Aufgabe anfängt, 31 polynome aufzählt ohne die Definition dessen nachzuschlagen, was man zeigen soll. da macht man sicht oft zu viel Arbeit.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 So 15.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo shinesmile
Wie du richtig gesehen hast gehört das auch dazu, da es ja weder durch x noch durch x+1 teilbar ist.
> Stellen sie die Liste aller irreduziblen Polynome vom Grad
> [mm]\le[/mm] 4 zusammen, die ihre Koeffizienten in [mm]\IZ_{2}[/mm] haben.
> Also ich hab jetzt erst mal alle Aufgestellt das sind
> 31...
> Davon habe ich jetzt erst mal alle durch x gesteilt, da
> sind schon einige weggeflogen, dann habe ich die mit Rest
> noch durch (x+1) geteilt und die die dann noch übrig waren
> durch [mm](x^2+x+1)[/mm] und die die dann übrig waren + 1=0 , x=0 ,
> (x+1)=0 sind meine irreduzieblen Polynome.....
die letzte Zeile :"+ 1=0 , x=0 , (x+1)=0 sind meine irreduzieblen Polynome....." hab ich nicht verstanden. du solltest haben x, 1+x, [mm] 1+x+x^2,
[/mm]
[mm] 1+x^{2}+x^{3},1+x+x^{3}.....
[/mm]
Schneller finden kann man sie, wenn man aufmultipliziert und damit ausschließt.
a)alle Polynome mit 2 oder 4 Termen haben x=1 als Lösung, sind also durch x+1 teilbar. alle die nicht 1 enthalten sind durch x teilbar. bleiben nur wenige über. die dürfen also nicht durch [mm] 1+x+x^2 [/mm] teilbar sein. und das kann man einfach quadrieren, Ende
> Jetzt meine Frage....gehört [mm](x^2+x+1)[/mm] auch zu den
> irreduzieblen Polynomen?
> Mit dem hätte ich dann 9 ansonsten 8....
welche 8?
>
> Und wie ist das...ich bin ja im modulo 2 das heißt es
> existieren nur 0 und 1....
> Wenn ich teile wann muss ich die 2 zur 0 werden lassen,
> oben im Ergebnis erst oder schon gleich beim schriftlichen
> teilen unten.....
> Wäre schön, wenn mir das mal einer sagen kann....
Die Frage versteh ich nicht. mod 2 ist doch das inverse zu 1 wieder 1, also 1+1=0 subtrahieren heisst ja eigentlich das Inverse addieren. d.h. du kannst gar keine 2 kriegen. denn etwa 1*x+1*x=x*(1+1) =x*0=0 das ist besser als zu schreiben x+x=2x ;2mod1=0 deshalb x+x=0. meintest du das mit der Frage? man dividiert in mod ja auch nicht, sondern man multipliziert mit dem Inversen! (das ist wichtig, wenn man Gleichungssysteme in [mm] \IZ_{7} [/mm] oder so lösen muss!
Gruss leduart.
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Ja ist schon alles so weit klar...aber ich meinte das 1 auch noch dazu gehört, ne?
Und ich sage dann wären es 9 Polynome von den 31...die nihct irreduziebel sind.....oder gehört die 1 nicht mehr dazu? doch, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich komme hier nur auf $8$ Polynome:
[mm] $p_1(x)=x$,
[/mm]
[mm] $p_2(x)=x+1$,
[/mm]
[mm] $p_3(x)=x^2+x+1$,
[/mm]
[mm] $p_4(x)=x^3+x^2+1$,
[/mm]
[mm] $p_5(x) [/mm] = [mm] x^3+x+1$,
[/mm]
[mm] $p_6(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] + x+1$,
[mm] $p_7(x) [/mm] = [mm] x^4+x^3+1$,
[/mm]
[mm] $p_8(x) [/mm] = [mm] x^4+x^3+x^2+x+1$.
[/mm]
Welches habe ich vergessen?
Liebe Grüße
Julius
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