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| Aufgabe | Es seine P [mm] \in [/mm] K[X] ein Polynom, P [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \lambda_{1},..., \lambda_{k} [/mm] die verschiedenen Nullstellen von P.
Zeigen Sie dass dann gilt:
[mm] \mu(P,\lambda_{1})+ [/mm] ... + [mm] \mu(P,\lambda_{k}) \le [/mm] grad(P)
Gleichheit gilt genau dann, wenn P in Linearfaktoren zerfällt. |
Unser Proffessor meinte dass man dies ohne großen Aufwand zeigen könnte ... aber nun weiß ich nicht wie.
Selbst beim Gleichgheitsfall hab ich noch keine Beweisidee :(
Wisst ihr vielleicht mehr???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seine P [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom, P [mm]\not=[/mm] 0 und
> [mm]\lambda_{1},..., \lambda_{k}[/mm] die verschiedenen Nullstellen
> von P.
> Zeigen Sie dass dann gilt:
> [mm]\mu(P,\lambda_{1})+[/mm] ... + [mm]\mu(P,\lambda_{k}) \le[/mm] grad(P)
> Gleichheit gilt genau dann, wenn P in Linearfaktoren
> zerfällt.
>
> Unser Proffessor meinte dass man dies ohne großen Aufwand
> zeigen könnte ...
Wenn [mm] $P(\lambda) [/mm] = 0$ ist und $P [mm] \neq [/mm] 0$, dann ist [mm] $\hat{P} [/mm] := [mm] \frac{P}{X - \lambda}$ [/mm] ebenfalls ein Polynom mit [mm] $\deg \hat{P} [/mm] = [mm] \deg [/mm] P - 1$, mit [mm] $\mu(\hat{P}, \lambda) [/mm] = [mm] \mu(P, \lambda) [/mm] - 1$ und mit [mm] $\mu(\hat{P}, \lambda') [/mm] = [mm] \mu(P, \lambda')$ [/mm] fuer alle [mm] $\lambda' \neq \lambda$.
[/mm]
> aber nun weiß ich nicht wie.
> Selbst beim Gleichgheitsfall hab ich noch keine Beweisidee
> :(
Dir sollte bei dem obigen Beweis jetzt eine Idee kommen. Wenn ein [mm] $\mu(P, \lambda) [/mm] > 0$ ist, kannst du von $P$ den Linearfaktor $X - [mm] \lambda$ [/mm] abspalten.
LG Felix
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kann man sagen dass man den Linfaktor [mm] (X-\lambda) [/mm] genau k mal von P abspalten kann und somit der Polynom aus k-fachen Vektoren besteht, die alle lin. unabhängig sind und somit den Polynom grad k erzeugen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 15.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
> kann man sagen dass man den Linfaktor [mm](X-\lambda)[/mm] genau k
> mal von P abspalten kann und somit der Polynom aus k-fachen
> Vektoren besteht, die alle lin. unabhängig sind und somit
> den Polynom grad k erzeugen?
Nicht ganz:
Wenn [mm] \lambda [/mm] eine k-fache Nullstelle wäre, könnte man [mm] (X-\lambda) [/mm] k-mal abspalten.
Hier kannst du, da die [mm] \lambda_{i}s [/mm] alle verschieden sind [mm] (X-\lambda_{i}) [/mm] jeweils einmal abspalten.
Beispiel:
(x-1)(x+2)(x-3)(x²+1) ist ein Polynom in [mm] \IR [/mm] vom Grad 5. Aber x²+1 zerfällt in [mm] \IR [/mm] nicht weiter in Linearfaktoren.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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Ja, aber im Fall der Gleichheit muss ich es doch gerade k-mal abspalten können damit die "abgespaltenen Teile" die gleiche Anzahl und den selben grad wie das Polynom P haben oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 17.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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