Polynom irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 So 28.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
| Aufgabe | Hallo zusammen.
Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
[mm] (x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1 [/mm]
Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll? |
Hallo zusammen.
Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
[mm] (x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1 [/mm]
Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:29 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen.
> Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
> [mm](x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1[/mm]
> Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
> Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom
> doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass
> das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll?
Induktion ist nicht sinnvoll. Aber wie waer's mit folgendem Ansatz?
Sei $n$ fest. Setze $f := [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] i)^2 [/mm] + 1$. Es reicht zu zeigen, dass $f$ ueber [mm] $\IZ$ [/mm] irreduzibel ist.
Angenommen, es ist das nicht; sei $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ mit $g, h [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] und [mm] $\deg [/mm] g [mm] \le \deg [/mm] h$.
Es gilt [mm] $\deg [/mm] f = 2 n$, womit [mm] $\deg [/mm] g [mm] \le [/mm] n$ gilt. Da $f$ normiert ist, kann man $g$ und $h$ ebenfalls als normiert ansehen. Damit ist $g$ durch $n$ Werte eindeutig festgelegt.
Weiterhin ist $f(0) = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$ und $f(i) = 1$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Damit ist $g(i) = h(i) = [mm] \pm [/mm] 1$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$.
Es gibt also hoechstens [mm] $2^n$ [/mm] Moeglichkeiten fuer $g$, und man kann diese alle explizit hinschreiben (Lagrange). Und zwar:
Sei [mm] $g_i(x) [/mm] = [mm] \prod_{k=0 \atop k \neq i}^n \frac{x - k}{i - k}$. [/mm] Dann ist [mm] $g_i(i) [/mm] = 1$ und [mm] $g_j(i) [/mm] = 0$ fuer $j [mm] \in \{ 0, \dots, n \} \setminus \{ i \}$.
[/mm]
Jedes solche $g$ kann also als [mm] $g_{(a_i)_i,A}(x) [/mm] = A [mm] g_0(x) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n a_i g_i(x)$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \{ -1, 1 \}$ [/mm] und $A [mm] \mid ((n!)^2 [/mm] + 1)$ geschrieben werden.
(Ob dies ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt, ist noch eine ganz andere Frage! Ist das nicht der Fall, ist diese Kombination [mm] $(a_i)_i \in \{ -1, 1 \}^n$ [/mm] sowieso nicht moeglich.)
Das Polynom $h$ kann hoeheren Grad haben. Man kann aber sagen, dass es von folgender Form sein muss: [mm] $h_{(a_i)_i, B, h_1}(x) [/mm] = [mm] g_{(a_i)_i,B}(x) [/mm] + [mm] h_1(x) \prod_{i=0}^n [/mm] (x - i)$ mit $A B = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$.
Damit waere $f(x) = [mm] g_{(a_i)_i,A}(x) h_{(a_i)_i,B, h_1} [/mm] = [mm] g_{(a_i)_i,A}(x) g_{(a_i)_i,B}(x) [/mm] + [mm] g_{(a_i)_i, A}(x) h_1(x) \prod_{i=0}^n [/mm] (x - i)$ fuer passende [mm] $(a_i)_i \in \{ -1, 1 \}^n$, [/mm] $A, B [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $A B = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$ und [mm] $h_1 \in \IZ[x]$ [/mm] (mit [mm] $\deg h_1 [/mm] < n$), falls $f$ reduzibel ist.
Vielleicht kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 29.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank du hast mir wirklich sehr weitergeholfen.
jacob
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