Polynom Unterraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR_4[x] [/mm] ein Vektorraum mit der Abbildung:
f: [mm] \IR_4[x] [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] f(\summe_{k=0}^{n} a_k*x^k)=\begin{pmatrix}
a_0+2a_1-a_2 \\
a_3 \\
a_1+a_2
\end{pmatrix} [/mm] .
Zeigen Sie das f linear ist. Berechnen Sie eine Basis von Kern f und eine Basis von [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] f. Warum ist [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] f isomorph? Geben Sie einen Isomorphismus an. |
hallo, Ich habe bis jetzt schon gezeigt, dass f linear ist durch die Additivität und die Homogenität. das passt alles. Zudem habe ich die Basis des Kerns schon bestimmt, die [mm] \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix} [/mm] ist.
Wie kann ich die andere gefragte Basis berechnen? kann ich einfach den Vektor von der linearkombination des [mm] \IR_4[x] [/mm] Polynoms abziehen, so, dass das Bild nicht mehr null werden kann, oder gibt es da einen bestimmten Trick? Wenn das Polynom isomorph zum [mm] \IR^3 [/mm] sein soll, sind doch auch bei linearen Abb. die Dimensionen gleich, oder? Dann müsste ja, da dim(Kern f)=1, [mm] dim(\IR_4[x]/Kern [/mm] f)=3, also [mm] dim(\IR_4[x])=4 [/mm] sein?
Wie gebe ich dann einen Isomorphismus an? Oder sehe ich das dann aus der Lösung von der Mengendifferenz darüber?
Danke schon einmal für eure Hilfe.
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> Es sei [mm]\IR_4[x][/mm] ein Vektorraum mit der Abbildung:
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> f: [mm]\IR_4[x][/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] mit [mm]f(\summe_{k=0}^{n} a_k*x^k)=\begin{pmatrix}
a_0+2a_1-a_2 \\
a_3 \\
a_1+a_2
\end{pmatrix}[/mm]
> .
>
>
> Zeigen Sie das f linear ist. Berechnen Sie eine Basis von
> Kern f und eine Basis von [mm]\IR_4[x]/Kern[/mm] f. Warum ist
> [mm]\IR_4[x]/Kern[/mm] f isomorph? Geben Sie einen Isomorphismus an.
> hallo, Ich habe bis jetzt schon gezeigt, dass f linear ist
> durch die Additivität und die Homogenität. das passt alles.
> Zudem habe ich die Basis des Kerns schon bestimmt, die
> [mm]\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/mm]
> ist.
Hallo,
beim Kern hast Du Dich verrechnet - aber im Prinzip kannst Du das wohl durchaus.
Was ist denn jetzt eigentlich der Kern? es muß doch ein Polynom sein, oder?
> Wie kann ich die andere gefragte Basis berechnen?
Die von [mm] \IR^4 [/mm] / Kern f ?
Ergänze die Basis des Kerns zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] und überlege Dir, wie die Elemente des [mm] \IR^4 [/mm] / Kern f aussehen.
Dann solltest Du drauf kommen.
> kann ich
> einfach den Vektor von der linearkombination des [mm]\IR_4[x][/mm]
> Polynoms abziehen, so, dass das Bild nicht mehr null werden
> kann,
Verstehe ich nicht.
oder gibt es da einen bestimmten Trick? Wenn das
> Polynom isomorph zum [mm]\IR^3[/mm] sein soll, sind doch auch bei
> linearen Abb. die Dimensionen gleich, oder? Dann müsste ja,
> da dim(Kern f)=1, [mm]dim(\IR_4[x]/Kern[/mm] f)=3, also
> [mm]dim(\IR_4[x])=4[/mm] sein?
Dim kern =1, das stimmt.
Was ist denn die Dimension des [mm] \IR_4[x] [/mm] ?
> Wie gebe ich dann einen Isomorphismus an?
Ich denke, wenn Du erstmal eine Basis hast, sollte das mit dem Isomaorphismus kein Problem sein.
Basis auf Basis.
Gruß v. Angela
Oder sehe ich
> das dann aus der Lösung von der Mengendifferenz darüber?
>
>
> Danke schon einmal für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
liege ich denn richtig, wenn die Basis des Kerns [mm] x^2-x-3 [/mm] ist?
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> liege ich denn richtig, wenn die Basis des Kerns [mm]x^2-x-3[/mm]
> ist?
Hallo,
Entschuldigung, ich hatte mich gestern beim Kern vertan. Deiner war doch richtig, und als Polynom geschreiben ist [mm] x^2-x+3 [/mm] eine Basis - wie das also läuft mit den Koordinatenvektoren hast Du auch begriffen. Ich frag' da gern mal nach, weil das mitunter gar nicht klar ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Ist denn jetzt [mm] dim(\IR_4[x])=4 [/mm] weil ich [mm] a_4x^4 [/mm] weglassen kann? oder liege ich da falsch?
Kann ich dann einfach die basis des Kerns von der anderen Basis wegnehmen? Ist die Basis des polynoms (1,1,1,1)?
lg
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> Ist denn jetzt [mm]dim(\IR_4[x])=4[/mm] weil ich [mm]a_4x^4[/mm] weglassen
> kann? oder liege ich da falsch?
Hallo,
ich glaube, ich verstehe überhaupt nicht, worüber Du redest. Worauf beziehst Du Dich, was planst Du?
Die Dimension des Raumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 4, [mm] dim(\IR_4[x]), [/mm] ist doch =5.
> Kann ich dann einfach die basis des Kerns von der anderen
> Basis wegnehmen?
Von welcher und wofür?
> Ist die Basis des polynoms (1,1,1,1)?
???
Polynome haben keine Basis. Jeder Vektorraum hat eine Basis, also auch diejenigen Vektorräume, die aus, Polynomen bestehen.
Über welchen Raum versuchst Du gerade zu sprechen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Ist ja eig klar, dass diese Polynome dim =5 haben, aber das [mm] a_4 [/mm] kommt in der Abbildung gar nicht vor und ist doch somit absolut beliebig, oder? ist dann die [mm] Basis(x^4, x^3, x^2, [/mm] x,1)? für den polynom VR?
Wie soll ich dann noch Basis auf Basis abbilden können? dim Kern ist doch nur 1. Da komme ich bei [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] f nie auf [mm] dim\IR_4[x]/Kern f=3=dim\IR^3, [/mm] oder muss ich das gar nicht?
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> Ist ja eig klar, dass diese Polynome dim =5 haben,
Gut.
>aber das
> [mm]a_4[/mm] kommt in der Abbildung gar nicht vor und ist doch somit
> absolut beliebig, oder? ist dann die [mm]Basis(x^4, x^3, x^2,[/mm]
> x,1)? für den polynom VR?
Bitte bedenke, daß ich nicht Deine Gedanken lesen kann.
Ich habe im Moment null Ahnung, worüber Du gerade mit mir redest. Der Raum [mm] \IR_4[x] [/mm] ist es nicht, aber was dann?
Worüber man vielleicht bei dieser Aufgabe Lust haben könnte zu plaudern, wären die Räume kern f, bild f, ein Komplementärraum zu Kern f , der Quotientenraum [mm] \IR_4[x] [/mm] / kern f.
Also: welches Thema behandeltst Du gerade? (Es ist nicht zuletzt wichtig, dies zu jeder Zeit selbst zu wissen.)
> Wie soll ich dann noch Basis auf Basis abbilden können?
So weit sind wir doch noch gar nicht, oder?
Hast Du schon eine Basis von [mm] \IR_4[x] [/mm] / kern f ? (Mitgeteilt hast Du sie jedenfalls nicht.)
> dim Kern ist doch nur 1. Da komme ich bei [mm]\IR_4[x]/Kern[/mm] f nie
> auf [mm]dim\IR_4[x]/Kern f=3=dim\IR^3,[/mm] oder muss ich das gar
> nicht?
Ich denke, hier liegt ein Mißverständnis vor, bzw. eine verkehrte Aufgabenstellung.
>>>> Warum ist $ [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] $ f isomorph?
ist ja völlig frei von Sinn.
das soll wohl eher heißen: "Wozu ist [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] $ f isomorph?", und die Antwort mußt Du noch herausfinden.
Der [mm] \IR^3 [/mm] ist es in der Tat nicht, aber das wurde ja nirgends behauptet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Also meine Basis zum [mm] \R_4[x] [/mm] ist [mm] (x^4, x^3, x^2, [/mm] x, 1). Stimmt das?
Ich möchte den genannten Quotientenraum, genauer, die Basis davon berechnen. Wie geht das?
weiterhin steht in der Aufgabe (was ich wohl vergessen habe abzuschreiben)
>Warum ist der Vektorraum [mm] \IR_4[x]/Kern [/mm] f isomorph zu [mm] \IR^3? [/mm] Geben Sie einen Isomorphismus an. <
lg
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> Also meine Basis zum [mm]\IR_4[x][/mm] ist [mm](x^4, x^3, x^2,[/mm] x, 1).
> Stimmt das?
Hallo,
ja, das ist eine (!) Basis dieses Raumes.
> Ich möchte den genannten Quotientenraum, genauer, die
> Basis davon berechnen. Wie geht das?
Ich hatte Dir die Vorgehensweise (bzw. die zündende Idee) bereits in meinem ersten Post in dieser Diskussion gesagt.
>
> weiterhin steht in der Aufgabe (was ich wohl vergessen habe
> abzuschreiben)
>
> >Warum ist der Vektorraum [mm]\IR_4[x]/Kern[/mm] f isomorph zu
> [mm]\IR^3?[/mm] Geben Sie einen Isomorphismus an.
Da wird nicht klappen - es sei denn, wir hätten uns beim Kern gravierend verrechnet.
Zeigen könnte man allerdings Isomorphie zu [mm] \IR_3[x].
[/mm]
Wie gesagt: die lineare Abbildung, die eine Basis des Quotientenraumes auf eine Basis des anderen Raumes abbildet, ist dann ein Isomorphismus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
So, ich hab nochmals alles durchgerechnet und bin zum Schluss gekommen, dass die Basis vom Kern im [mm] \\R_4[x] [/mm] diese ist:
[mm] \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}
[/mm]
Also durch Einsetzten, vom gelösten LGS: [mm] a_0=-3a_2; a_1=-a_2; a_3=0 [/mm] wenn ich die obige Vorschrift gleich null gesetzt habe.
Damit ist Def f=2
kann ich dann den Quotientenraum durch Gleichsetzten der Linearen Hülle (Linearkombi der Basiselemente) vom [mm] \\R_4[x] [/mm] mit der linearen Hülle des Kerns berechnen?
käme bei mir dim=3 raus:
[mm] \begin{Bmatrix}
x^3, x, 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
Das müsste doch dann isomorph zum [mm] \R^3 [/mm] sein, oder?
Wie kann ich denn dann nen Isomorphismus angeben???
kann ich einfach sagen, es existiert eine lineare Abb f, die bijektiv ist zwischen [mm] \begin{Bmatrix}
x^3, x, 1
\end{Bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{Bmatrix}
e_1, e_2, e_3
\end{Bmatrix} [/mm] mit [mm] f(x^3)=e_1, f(x)=e_2 [/mm] und [mm] f(1)=e_3 [/mm] ???
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> So, ich hab nochmals alles durchgerechnet und bin zum
> Schluss gekommen, dass die Basis vom Kern im [mm]\\R_4[x][/mm] diese
> ist:
>
> [mm]\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/mm]
>
> Also durch Einsetzten, vom gelösten LGS: [mm]a_0=-3a_2; a_1=-a_2; a_3=0[/mm]
> wenn ich die obige Vorschrift gleich null gesetzt habe.
>
> Damit ist Def f=2
Hallo,
fürwahr, so ist es!
Da war uns einträchtig ein grober Fehler bei der Berechnung des Kerns unterlaufen.
Die Dimension des Kerns ist also =2, ob es genau Deine Vektoren sind, habe ich jetzt nicht nachgerechnet, ich gehe davon aus, daß es stimmt.
Es ist also [mm] (-3-x-x^2, x^4) [/mm] eine Basis des Kerns.
> kann ich dann den Quotientenraum durch Gleichsetzten der
> Linearen Hülle (Linearkombi der Basiselemente) vom [mm]\\R_4[x][/mm]
> mit der linearen Hülle des Kerns berechnen?
Nein.
Um eine Basis des Quotientenraumes zu finden, ist zunächst die Basis des Kerns zu einer Basis des [mm] \IR_{4}[x] [/mm] zu ergänzen, etwa durch [mm] (x^3, [/mm] x,1).
(Du meinst also mit dem was Du schreibst, vielleicht nicht ganz das Falsche)
> käme bei mir dim=3 raus:
>
> [mm]\begin{Bmatrix}
x^3, x, 1
\end{Bmatrix}[/mm]
Eine Basis des Quotientenraumes ist dann [mm] (x^3+Kern [/mm] f, x+kern f, 1+ kern f), also hat der Quotientenraum die Dimension 3 (=5-2).
> Das müsste doch dann isomorph zum [mm]\R^3[/mm] sein, oder?
Ja. Weil der Quotientenraum die Dimension 3 hat, ist er natürlich isomorph zum [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> Wie kann ich denn dann nen Isomorphismus angeben???
Du betrachtest die lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR_4[x] [/mm] / Kern f [mm] \to \IR^4, [/mm] die die gefundene Basis auf eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] abbildet.
Dann begründest oder zeigst Du noch, daß es ein Isomorphismus ist.
Tut mir leid, daß mir das mit dem Koeffizienten [mm] a_4. [/mm] der in der Funktionsvorschrift nicht vorkommt, aber trotzdem beachtet werden muß, verschlafen habe. Hätte man das sofort gesehen, wäre einiges Wirrwarr weniger gewesen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Das hätte mir ja auch mal auffallen können :)
Ich komme aber auch auf die selbe ergänzung der Basis, wenn ich die beiden Linearkombis gleich setzte und zu einer Seite auflöse...
Geht das wirklich nicht?
lg
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> Ich komme aber auch auf die selbe ergänzung der Basis, wenn
> ich die beiden Linearkombis gleich setzte und zu einer
> Seite auflöse...
>
> Geht das wirklich nicht?
Hallo,
ich kann das nur entscheiden, wenn ich sehe, was Du tust. Mir ist das nicht klar, es liest sich verkehrt.
Ich weiß gar nich, von welchen Linearkombinationen Du redest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Ich meine eine, die den [mm] \\R_4[x] [/mm] aufspannt: [mm] a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
und die, die den Kern f aufspannt:
[mm] a_4x^4+a_2(x^2-x-3)
[/mm]
Die gleichgesetzt ergeben:
[mm] a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=a_4x^4+a_2(x^2-x-3)
[/mm]
<=> [mm] a_3x^3+a_2x^2-a_2(x^2-x-3)+a_1x+a_0=0
[/mm]
<=> [mm] a_3x^3+a_2(x^2-x^2-x-3)+a_1x+a_0=0
[/mm]
<=> [mm] a_3x^3+a_2(x+3)+a_1x+a_0=0
[/mm]
Dabei ist x+3 lin abh. von [mm] a_1x+a_0*1
[/mm]
Somit wäre die Basis [mm] x^3, [/mm] x, 1
Stimmt das?
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> Stimmt das?
Hallo,
nein, das sieht mir nicht sinnvoll aus.
Was bezweckst Du mit dem Gleichsetzen der Linearkombinationen, bei denen zu allem Überluß auch noch die Koeffizienten rechts auch links vorkommen?
Das, was man tut, muß ja aus dem erwachsen, was man erreichen will.
Wenn Du klar formulierst, was Du erreichen willst und dann sagst, warum das so machst, wie Du es getan hast, kann man den Irrtum vielleicht aufklären.
> die Basis ist [mm] (x^3,x,1)
[/mm]
Die Basis wovon eigentlich? Und was hast Du mit der vor?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Di 16.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Wenn ich das mit dem Zweck tue, die Basiselemente des Kerns aus der des ganzen Polynoms zu entfernen, und so eine basis des quotientenraums zu bekommen, geht das doh sicher...
De Koeffizienten ergeben sich zudem aus den Berechnungen vorher. Die Koeff., des Kerns sind nämlich [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_4. [/mm] Und die dess allgemeinen Polynoms enthalten die natürlich mit [mm] a_0, a_1, a_2, a_3, a_4
[/mm]
geht das echt nicht?
lg
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> Wenn ich das mit dem Zweck tue, die Basiselemente des Kerns
> aus der des ganzen Polynoms zu entfernen,
Hallo,
schon dies ist kraus.
Eine Basis des Kerns hattest Du errechnet zu [mm] B_{Kern}=(-3-x-x^2, x^4)
[/mm]
Eine Basis des Raumes der Polynome (nicht: des ganzen Polynoms!) ist [mm] (1,x,x^2,x^3,x^4).
[/mm]
Da in dieser Basis das Element [mm] -3-x-x^2 [/mm] gar nicht vorkommt, ist schon das Ansinnen, es entfernen zu wollen, etwas bizarr...
Man muß das Umgekehrte tun: die Basis des Kerns zu einer (!) Basis des des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 4 ergänzen.
Die Basis, zu der man ergänzt, ist naturgemäß nicht die kanonische, denn wir haben ja [mm] -3-x-x^2 [/mm] drin.
> und so eine basis
> des quotientenraums zu bekommen, geht das doh sicher...
Ist Dir klar, daß [mm] (1,x,x^3) [/mm] nicht die Basis des Quotientenraumes ist?
Die Elemente des Quotientenraumes sind Mengen,
und der Weg zu einer Basis des Quotientenraumes führt über die Ergänzung einer Basis des Kerns zu einer des Gesamtraumes.
(Das ist generell so: Betrachtet V / U, so ergänzt eine Basis von U zu einer Basis von V und gewinnt hieraus eine Basis von V / U.)
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> Ich meine eine, die den [mm]\\R_4[x][/mm] aufspannt:
> [mm]a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm]
So sehen die Elemente des [mm] \IR_4[x] [/mm] aus.
>
> und die, die den Kern f aufspannt:
>
> [mm]a_4x^4+a_2(x^2-x-3)[/mm]
So sehen die Elemente des Kerns aus.
Die Verwendung derselben Koeffizienten wie oben könnte mißverständlich sein, schreiben wir lieber [mm] b_4x^4+b_2(x^2-x-3)
[/mm]
>
> Die gleichgesetzt ergeben:
Wenn Du das gleichsetzt, ermittelst Du, wie man die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] wählen muß, damit [mm] a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] im Kern liegt.
Nun, das Ergebnis ist ohne großartige Rechnungen bekannt: [mm] a_4=b_4, a_3=0, a_2=b_2, a_1=-b_2, a_0=-3b_2.
[/mm]
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Na gut, Dir ist schon klar, daß das sowieso nur klappen kann, wenn [mm] b_4=a_4 [/mm] und [mm] b_2=a_2, [/mm] das verwendest Du gleich mit.
Wir schauen jetzt mal nach, welche Schlüsse man aus Deiner Rechnung ziehen kann:
> [mm]a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=a_4x^4+a_2(x^2-x-3)[/mm]
>
> <=> [mm]a_3x^3+a_2x^2-a_2(x^2-x-3)+a_1x+a_0=0[/mm]
> <=> [mm]a_3x^3+a_2(x^2-x^2-x-3)+a_1x+a_0=0[/mm]
> <=> [mm]a_3x^3+a_2(x+3)+a_1x+a_0=0[/mm]
==> [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] (a_2+a_1)x [/mm] + [mm] 3a_2+a_0=0
[/mm]
==> (wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] (x^3, [/mm] x,1) [mm] a_3=0, a_2+a_1=0, 3a_2+a_0=0.
[/mm]
==> das Element [mm] x:=a_4x^4+a_2(x^2-x-3) [/mm] des Kerns kann man in der Basis [mm] (1,x,x^2, x^3, x^4) [/mm] schreiben als
[mm] x=a^4x^4+ 0*x^3 +a_2x^2 [/mm] -a_2x [mm] -3a_2, [/mm] und das ist irgendwie nicht Neues.
Gruß v. Angela
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