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Forum "Interpolation und Approximation" - Polynom 3 Grades interpolieren
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Polynom 3 Grades interpolieren: Hilfe bei dieser Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

Aufgabe
Die folgende Tabelle zeigt die Zuschauerzahlen der ersten vier Spieltage:

Spieltag 1 / Zuschauer / 24317
Spieltag 2 / Zuschauer / 22101
Spieltag 3 / Zuschauer / 22988
Spieltag 4 / Zuschauer / 22513

Ermitteln Sie ein Polynom dritten Grades, das diese Werte interpoliert.
Prognostizieren Sie damit, wie viele Zuschauer am fünften Spieltag
kommen werden.

Ich habe versucht es mit der Lagrange Basisfunktion zu lösen,
laut dem Beispiel bei Wikipedia- Interpolation der Tangensfunktion.

Der unterschied wäre ja, dass ich nur bis l3 und x3 rechnen muss.
Für x habe ich die Spieltage verwendet.
Für die Funktion beim Berechnen des Interpolationspolynom würde ich dann
die Zuschauerzahlen nehmen:

x0= 1
x1= 2
x2= 3
x3= 4
f(x0)= 24317
f(x1)= 22101
f(x2)= 22988
f(x3)= 22513

Ist meine Annahme bis hier hin korrekt?
Weil ich schon beim berechnen der Basisfunktion auf "komische"
Ergebnisse komme.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Do 23.01.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

> Die folgende Tabelle zeigt die Zuschauerzahlen der ersten
> vier Spieltage:

>

> Spieltag 1 / Zuschauer / 24317
> Spieltag 2 / Zuschauer / 22101
> Spieltag 3 / Zuschauer / 22988
> Spieltag 4 / Zuschauer / 22513

>

> Ermitteln Sie ein Polynom dritten Grades, das diese Werte
> interpoliert.
> Prognostizieren Sie damit, wie viele Zuschauer am fünften
> Spieltag
> kommen werden.
> Ich habe versucht es mit der Lagrange Basisfunktion zu
> lösen,
> laut dem Beispiel bei Wikipedia- Interpolation der
> Tangensfunktion.

>

> Der unterschied wäre ja, dass ich nur bis l3 und x3
> rechnen muss.
> Für x habe ich die Spieltage verwendet.
> Für die Funktion beim Berechnen des Interpolationspolynom
> würde ich dann
> die Zuschauerzahlen nehmen:

>

> x0= 1
> x1= 2
> x2= 3
> x3= 4
> f(x0)= 24317
> f(x1)= 22101
> f(x2)= 22988
> f(x3)= 22513

>

> Ist meine Annahme bis hier hin korrekt?
> Weil ich schon beim berechnen der Basisfunktion auf
> "komische"
> Ergebnisse komme.

Bis hierher ist alles völlig korrekt. Man darf auch bei diesen Ausganggsdaten nicht erwartem irgendwelche schönen Ergebnisse zu bekommen.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

ok, danke erst einmal für die schnelle Antwort!

Folgendes habe mit meinem Taschenrechner berechnet:

Lo= -2139,4
L1= 6680,9
L2= -6966
L3= 2425,6

Wie errechne bzw. setzte ich jetzt, diese oben genannten Lösungen mit den Funktionen (Zuschauerzahlen), in die Gleichung für das Interpolationspolynom ein?

Vielen Dank für die Mühe!


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Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Do 23.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

was soll das sein? Du benötigst hier vier Basisfunktionen in Form von Polynomen, keine festen Werte.

Gruß, Diophant

Bezug
                                
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Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

ok, jetzt aber oder?

L0= - x³/6 + 3x²/2 - 13x/3 + 4

L1= x³/2 + 4x² - 24x

L2= - x³/2 + 7x²/2 - 7x + 4

L3= x³/6 - x² + 11x/6 - 1

        

Bezug
                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Do 23.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> ok, jetzt aber oder?

>

> L0= - x³/6 + 3x²/2 - 13x/3 + 4

passt. [ok]

>

> L1= x³/2 + 4x² - 24x

Hier hast du einen Rechenfehler, es muss heißen:

[mm] L_1=\bruch{x^3}{2}-4x^2+\bruch{19}{2}x-6 [/mm]

>

> L2= - x³/2 + 7x²/2 - 7x + 4

Passt auch wieder. [ok]

>

> L3= x³/6 - x² + 11x/6 - 1

Und auch das ist richtig. [ok]

Weißt du Bescheid, wie es weiter geht?

Gruß, Diophant


 

Bezug
                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

Gut.

Leider nicht so richtig. ich muss ja jetzt das Interpolationspolynom berechnen. Laut wikipedia muss ich ja jetzt irgendwie zu jeder Basisfunktion die dazugehörigen Funktionen zuordnen bzw. Multiplizieren oder? So richtig geht das nämlich nicht so hervor dort.
Vielen Dank nochmals!




Bezug
                                                        
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Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Do 23.01.2014
Autor: fred97


> Gut.
>  
> Leider nicht so richtig. ich muss ja jetzt das
> Interpolationspolynom berechnen. Laut wikipedia muss ich ja
> jetzt irgendwie zu jeder Basisfunktion die dazugehörigen
> Funktionen zuordnen bzw. Multiplizieren oder? So richtig
> geht das nämlich nicht so hervor dort.

Doch. Das geht glasklar aus dem Wikiartikel hervor:

Du hast 4 Wertepaare [mm] (x_i,f_i) [/mm] (i=0,...,3)

Gesucht: Polynom p mit [mm] p(x_i)=f_i [/mm] (i=0,...,3)


Bestimmt hast Du schon die Polynome [mm] L_0,...,L_3. [/mm] Dann ist

   [mm] p(x)=\summe_{i=0}^{3}f_i*L_i(x) [/mm]

FRED

>  Vielen Dank nochmals!
>
>
>  


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Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

Also muss ich nun f(x0)= 24317 mit L0 multiplizieren anschließend mit
f(x1)= 22101 * L1 addieren usw. richtig???

Quasi sieht die Formel dann so aus: y ist jetzt die Zuschauerzahl:

y0* L0(x)+ y1* L1(x)+ y2*L2(x)+ y3*L3(x)




Bezug
                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Do 23.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Also muss ich nun f(x0)= 24317 mit L0 multiplizieren
> anschließend mit
> f(x1)= 22101 * L1 addieren usw. richtig???

>

> Quasi sieht die Formel dann so aus: y ist jetzt die
> Zuschauerzahl:

>

> y0* L0(x)+ y1* L1(x)+ y2*L2(x)+ y3*L3(x)

Ja: das ist der Weg jetzt. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
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Polynom 3 Grades interpolieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Do 23.01.2014
Autor: Peri2

kann es sein das die Rechnung bzw. rechnerei jetzt extrem groß wird?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Do 23.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> kann es sein das die Rechnung bzw. rechnerei jetzt extrem
> groß wird?

Extrem nicht, aber etwas üppiger schon. Das ist halt der Nachteil dieser Methode.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                
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Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:23 Fr 24.01.2014
Autor: Peri2

Guten morgen,

also ich habe jetzt einiges ausprobiert bei der ersten Rechnung, sprich für
y0*L0

[mm] 24317*((-(x^3/6)) [/mm] + [mm] (3x^2/2) [/mm] - (13x/3) + 4)

Für diesen Term habe ich:

[mm] ((-24317*x^3 [/mm] - [mm] 413389*x^2)/6)+97268 [/mm]

Soll das stimmen? Wie kann ich diese relativ einfach lösen?


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Fr 24.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Guten morgen,

>

> also ich habe jetzt einiges ausprobiert bei der ersten
> Rechnung, sprich für
> y0*L0

>

> [mm]24317*((-(x^3/6))[/mm] + [mm](3x^2/2)[/mm] - (13x/3) + 4)

>

> Für diesen Term habe ich:

>

> [mm]((-24317*x^3[/mm] - [mm]413389*x^2)/6)+97268[/mm]

>

> Soll das stimmen?

Nein, es ist falsch. Mit ein wenig mehr Gründlichkeit hättest du das selbst einehen können (wo ist bsp. das x geblieben, wo bekommst du plötzlich die 6 im Nenner her, usw.).

Wie kann ich diese relativ einfach

> lösen?

Also wenn du wirklich mit Lagrangeschen Basisfunktionen arbeiten sollst, dann geht es nach meiner Kenntnis nicht einfacher. Habt ihr vielleicht den Newton-Algorithmus durchgenommen oder etwas in der Art? Oder soll das ganze am Ende - völlig simpel - einfach nur per 4x4-LGS berechnet werden?

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:33 Fr 24.01.2014
Autor: Peri2

Ja es ist so vorgesehen das hier mit der Lagrangeschen Basisfunktionen gearbeitet werden soll. Könntest du dir die arbeit machen und nur für y0* L0 mir den weg zeigen, sodass ich das dann auf die anderen anwenden kann. Vielen Dank für die Mühe.

Bezug
                                                                                                                        
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Polynom 3 Grades interpolieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Fr 24.01.2014
Autor: Diophant

Moin,

> Ja es ist so vorgesehen das hier mit der Lagrangeschen
> Basisfunktionen gearbeitet werden soll. Könntest du dir
> die arbeit machen und nur für y0* L0 mir den weg zeigen,
> sodass ich das dann auf die anderen anwenden kann.

nein, dafür stehe ich nicht zur Verfügung. Vielleicht findet sich ja jemand, aber ich sag mal so: wir sind hier nicht der Rechen-Dauerdienst sondern ein ernsthaftes Forum. Und das Multiplizieren eines Polynoms mit einem konstanten Faktor, sowie das anschließende aufaddieren von vier Polynomen ist vom Schwierigkeitsgrad her Stoff Klasse 7 am Gymnasium. Von daher würde ich dich bitten, den rechnerischen Teil schon selbst zu erledigen.

Gruß, Diophant 

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Fr 24.01.2014
Autor: Peri2

also laut Ausklammern und dem zusammenbringen der verschiedenen [mm] x^n [/mm] habe ich nun folgende Funktion als eventuelle Lösung berechnet:

[mm] 64499x^3/6 -11494x^3 [/mm] + [mm] 72951x^2/2 [/mm] - [mm] 30459x^2 [/mm] + -384599x/6 +

(98087/2)x + 34101



Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Fr 24.01.2014
Autor: meili

Hallo,
> also laut Ausklammern und dem zusammenbringen der
> verschiedenen [mm]x^n[/mm] habe ich nun folgende Funktion als
> eventuelle Lösung berechnet:
>  
> [mm]64499x^3/6 -11494x^3[/mm] + [mm]72951x^2/2[/mm] - [mm]30459x^2[/mm] + -384599x/6 +
>
> (98087/2)x + 34101

Warum hast du nicht vollständig zusammengefasst und je 2 Summanden
pro [mm] $x^n$ [/mm] stehen lassen?

Bis auf 34101, scheinen mir die Zahlen auch nach dem zusammenrechnen
falsch zu sein.

Gruß
meili

>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Fr 24.01.2014
Autor: Peri2

echt? Also meine erste Rechnung war folgende:

[mm] (-(24317x^3)/6) [/mm] + [mm] ((22101x^3)/2) [/mm] + (- [mm] 11494x^3) [/mm] + [mm] ((22513x^3)/6) [/mm]

so komme ich dann auf:

[mm] ((64499x^3)/6)-11494x^3 [/mm]


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Sa 25.01.2014
Autor: leduart

Hallo
> echt? Also meine erste Rechnung war folgende:
>  
> [mm](-(24317x^3)/6)[/mm] + [mm]((22101x^3)/2)[/mm] + (- [mm]11494x^3)[/mm] +
> [mm]((22513x^3)/6)[/mm]
>  
> so komme ich dann auf:
>  
> [mm]((64499x^3)/6)-11494x^3[/mm]

ich auf > [mm]((64398x^3)/6)-11494x^3[/mm]
und das noch zusammenfassen
Gruß leduart

>  


Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Sa 25.01.2014
Autor: Peri2

So jetzt müsste es aber stimmen oder

[mm] (-761x^3) [/mm] + [mm] 6016,5x^2 [/mm] - ((45169/3)x) + 34101

wenn ja, kann ich mit dieser Gleichung jetzt schon den fünften Spieltag bestimmen?



Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Sa 25.01.2014
Autor: leduart

Hallo
ich hab einfach überprüft ob für x=1 und x=2 das richtige rauskommt, das ist nicht der Fall, also muss es falsch sein. Die Probe ist mit einem TR leicht zu machen.
Wenn es für  1 bis 4 stimmt, musst du einfach nur 5 einsetzen.
Gruß leduart

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Sa 25.01.2014
Autor: ullim

Hi,

der Faktor vor [mm] x^3 [/mm] ist nicht richtig. Alle anderen Faktoren stimmen.

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 So 26.01.2014
Autor: Peri2

Also die rinchtige Gleichung lautet:

[mm] (-(4465x^3/6)) [/mm] + [mm] 6016,5x^2 [/mm] - (45169x/3) + 34101

somit komme ich bei allen vorgegebenen Spieltagen auf die richige Zuschauerzahl und am Tag 5 kommen dann wahrscheinlich leider nur noch 16211 Zuschauer.

Vielen Dank an alle die mir geholfen haben.

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Polynom 3 Grades interpolieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 So 26.01.2014
Autor: ullim

Hi,

das ist richtig.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Interpolation und Approximation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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