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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Es soll cos(x) durch ein Polynom zweiten Grades [mm] P_2(x) [/mm] angenähert werden. Tuen Sie dies, indem Sie
(a) bei x=0 die Ableitungen [mm] P_{2}^{(n)}, [/mm] n=0,1,2 denjenigen von cos(x) gleichsetzen.
(b) die Werte von [mm] P_2(x) [/mm] und cos(x) bei [mm] x=0,\pm \frac{\pi}{2} [/mm] gleichsetzen.
(c) Wie groß ist nun der Fehler bei [mm] x=\frac{\pi}{4} [/mm] in beiden Fällen. |
Hallo,
also (a) und (b) habe ich eigentlich gelöst. Nur zur Überprüfung der Korrektheit der Lösungen:
Man nehme [mm] P_2(x)=ax^2+bx+c [/mm] mit [mm] a,b,c\in \mathbb{R}.
[/mm]
In (a) erhält man durch Ableiten und Berechnen von [mm] P_2(0)=c, P_2'(0)=b, P_2''(0)=2a [/mm] und cos(0)=1, cos'(0)=0, cos''(0)=-1 und anschließendes Gleichsetzen:
[mm] P_2(x)=-\frac{1}{2}x^2+1.
[/mm]
In (b) nach Einsetzen und Gleichsetzen: [mm] P_2(x)=-\frac{4}{\pi^{2}}x^{2}+1.
[/mm]
Da das so ziemlich mit der Taylorentwicklun um [mm] x_0=0 [/mm] für cos(x) übereinstimmt, gehe ich davon aus, dass mein Vorgehen korrekt war, richtig?
Wie muss ich aber nun in (c) den Fehler bestimmen?
Einfach [mm] cos(\pi/4) [/mm] bilden und bei (a) und (b) ebenfalls den von [mm] P_2(\pi/4) [/mm] und dann die Differenz bilden oder wie?
Also Fehler [mm] \varepsilon=cos(\pi/4)-P_2(\pi/4)?
[/mm]
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> Es soll cos(x) durch ein Polynom zweiten Grades [mm]P_2(x)[/mm]
> angenähert werden. Tun Sie dies, indem Sie
>
> (a) bei x=0 die Ableitungen [mm]P_{2}^{(n)},[/mm] n=0,1,2 denjenigen
> von cos(x) gleichsetzen.
>
> (b) die Werte von [mm]P_2(x)[/mm] und cos(x) bei [mm]x=0,\pm \frac{\pi}{2}[/mm]
> gleichsetzen.
>
> (c) Wie groß ist nun der Fehler bei [mm]x=\frac{\pi}{4}[/mm] in
> beiden Fällen.
> Hallo,
>
> also (a) und (b) habe ich eigentlich gelöst. Nur zur
> Überprüfung der Korrektheit der Lösungen:
> Man nehme [mm]P_2(x)=ax^2+bx+c[/mm] mit [mm]a,b,c\in \mathbb{R}.[/mm]
> In
> (a) erhält man durch Ableiten und Berechnen von [mm]P_2(0)=c, P_2'(0)=b, P_2''(0)=2a[/mm]
> und cos(0)=1, cos'(0)=0, cos''(0)=-1 und anschließendes
> Gleichsetzen:
> [mm]P_2(x)=-\frac{1}{2}x^2+1.[/mm]
> In (b) nach Einsetzen und Gleichsetzen:
> [mm]P_2(x)=-\frac{4}{\pi^{2}}x^{2}+1.[/mm]
> Da das so ziemlich mit der Taylorentwicklung um [mm]x_0=0[/mm] für
> cos(x) übereinstimmt, gehe ich davon aus, dass mein
> Vorgehen korrekt war, richtig?
In (a) ist das [mm] P_2(x) [/mm] wirklich exakt das Taylorpolynom
2. Ordnung für die Cosinusfunktion.
In (b) haben wir die Gleichung der Parabel 2. Ordnung,
welche mit der Cosinuskurve den Hochpunkt bei x=0
sowie die beiden Nullstellen kleinsten Betrags teilt.
> Wie muss ich aber nun in (c) den Fehler bestimmen?
> Einfach [mm]cos(\pi/4)[/mm] bilden und bei (a) und (b) ebenfalls
> den von [mm]P_2(\pi/4)[/mm] und dann die Differenz bilden oder wie?
> Also Fehler [mm]\varepsilon=cos(\pi/4)-P_2(\pi/4)?[/mm]
Zur Bezeichnung des "Fehlers" als Abweichung vom
"richtigen" Wert, benützt man eher das Symbol [mm] \Delta,
[/mm]
und zwar in dieser Weise: [mm] \Delta{f}(x_0):=\tilde{f}(x_0)-f(x_0) [/mm] ,
hier also
[mm] \Delta{f}(\pi/4):=P_2(\pi/4)-cos(\pi/4)
[/mm]
Neben diesem "absoluten Fehler" (der übrigens auch
negativ sein kann) kann man auch dessen Betrag
sowie den "relativen Fehler" und dessen Betrag betrachten.
Epsilons sind von Geburt an positiv. Ihre Aufgabe
ist es, Deltas zu dominieren. Wäre also nun noch ein
(positives !) [mm] \varepsilon [/mm] gegeben, könnte man sich in der vor-
liegenden Aufgabe z.B. fragen: Wie groß darf |x| maxi-
mal sein, wenn [mm] |P_2(x)-cos(x)|<\varepsilon [/mm] bleiben soll ?
LG Al-Chw.
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