Polstellen,Asymptoten... < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion f auf Polstellen,hebbareLücken und Asymptoten
a) [mm] f(x)=\bruch{x-2}{x+1}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-2x+1}{x-2}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{3x-6}{x^{2}+2}
[/mm]
d [mm] f(x)=\bruch{x^{3}-3x-3}{x-3}
[/mm]
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Hallo^^
Ich hab die obenstehende Aufgabe gerechnet,weiß nicht ob sie so stimmt.
a)
Pol: -1 mit VZW
hebbare Lücken: keine
Asymptote: a(x)=1
b)
Pol: 2 mit VZw
hebbare Lücken: keine
Asymptote: a(x)=3x+8
c)
Pol: Keins
hebbare Lücken: keine
Asymptote: Ich hab hier Polynomdivision gemacht,aber da komm ich nicht mehr weiter [mm] (3x-6):(x^{2}+2)=\bruch{3}{x}
[/mm]
[mm] -(3x-\bruch{6}{x)}
[/mm]
[mm] -\bruch{6}{1}+\bruch{6}{x}
[/mm]
d)
Pol: 3 mit Vorzeichenwechsel
hebbare Lücken: keine
Asymptote: [mm] x^{2}-3+3x [/mm]
lg
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> Untersuchen Sie die Funktion f auf Polstellen,hebbareLücken
> und Asymptoten
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{x-2}{x+1}[/mm]
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> b) [mm]f(x)=\bruch{3x^{2}-2x+1}{x-2}[/mm]
>
> c) [mm]f(x)=\bruch{3x-6}{x^{2}+2}[/mm]
>
> d [mm]f(x)=\bruch{x^{3}-3x-3}{x-3}[/mm]
>
>
> Hallo^^
>
> Ich hab die obenstehende Aufgabe gerechnet,weiß nicht ob
> sie so stimmt.
>
> a)
> Pol: -1 mit VZW
> hebbare Lücken: keine
> Asymptote: a(x)=1
Hallo,
richtig.
>
> b)
> Pol: 2 mit VZw
> hebbare Lücken: keine
> Asymptote: a(x)=3x+8
Die 8 stimmt nicht, war aber nur ein Vorzeichenfehler bei der Division.
>
> c)
> Pol: Keins
> hebbare Lücken: keine
Klar, da es keine Lücken gibt, kann ja beides nicht vorkommen.
> Asymptote: Ich hab hier Polynomdivision gemacht,aber da
> komm ich nicht mehr weiter
Das Polynom im Nenner hat ja größeren Grad als das im Zähler, von daher gibt's keine Hoffnung, daß Du eine ganzrationale Funktion "herausdividieren " kannst.
Im Nenner hast Du als höchste potenz [mm] x^2, [/mm] im Zähler bloß x. Also wächst der Nenner viel stärker als der Zähler, und der Graph nähert sich für [mm] x\to \infty [/mm] der x-Achse.
Rechnerisch:
[mm] \lim_{x\to \infty}\bruch{3x-6}{x^{2}+2}= \lim_{y\to0}\bruch{3*\bruch{1}{y}-6}{((\bruch{1}{y})^{2}+2}=\lim_{y\to0}[\bruch{\bruch{1}{y}}{\bruch{1}{y})^2}*\bruch{3-6y}{1+2y^2}] [/mm] =
[mm] \lim_{y\to0}[y*\bruch{3-6y}{1+2y^2}] =0*\bruch{3}{1}=0
[/mm]
Für [mm] -\infty [/mm] analog.
(Im Rahmen einer größeren Funktionsuntersuchung würde mansich noch dafür interessieren, ob der graph sich den Asymptoten von oben oder unten nähert)
> d)
> Pol: 3 mit Vorzeichenwechsel
> hebbare Lücken: keine
> Asymptote: [mm]x^{2}-3+3x[/mm]
Ja, so ist das.
Gruß v. Angela
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,zu der c) hab ich noch ein paar Fragen.
> > c)
> > Pol: Keins
> > hebbare Lücken: keine
>
> Klar, da es keine Lücken gibt, kann ja beides nicht
> vorkommen.
>
> > Asymptote: Ich hab hier Polynomdivision gemacht,aber da
> > komm ich nicht mehr weiter
>
> Das Polynom im Nenner hat ja größeren Grad als das im
> Zähler, von daher gibt's keine Hoffnung, daß Du eine
> ganzrationale Funktion "herausdividieren " kannst.
> Im Nenner hast Du als höchste potenz [mm]x^2,[/mm] im Zähler bloß
> x. Also wächst der Nenner viel stärker als der Zähler, und
> der Graph nähert sich für [mm]x\to \infty[/mm] der x-Achse.
Heißt das,dass meine Polynomdivision dann falsch war?
Ist es dann immer so,dass wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist,dass die Division dann nix bringt?
> Rechnerisch:
>
> [mm]\lim_{x\to \infty}\bruch{3x-6}{x^{2}+2}= \lim_{y\to0}\bruch{3*\bruch{1}{y}-6}{((\bruch{1}{y})^{2}+2}=\lim_{y\to0}[\bruch{\bruch{1}{y}}{\bruch{1}{y})^2}*\bruch{3-6y}{1+2y^2}][/mm]
> =
> [mm]\lim_{y\to0}[y*\bruch{3-6y}{1+2y^2}] =0*\bruch{3}{1}=0[/mm]
>
> Für [mm]-\infty[/mm] analog.
>
Warum rechnet man denn jetzt mit lim? Wir hatten das noch nie mit lim gemacht.
Und warum setzt man für das x [mm] \bruch{1}{y} [/mm] ein???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 20.09.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
hier mal die grundlegende Regel zur Bestimmung von Asymptoten bei gebrochen rationalen Funktionen (Polynom geteilt durch Polynom):
Zählergrad < Nennergrad : Asymptote [mm] y_a=0 [/mm]
Zählergrad = Nennergrad : Asymptote [mm] y_a=\frac{a_z}{b_n}[/mm] wobei [mm]a_z[/mm] der Koeffizient der größten Potenz im Zähler und [mm]b_n[/mm] der Koeffizient der größten Potenz im Nenner sind.
Zählergrad > Nennergrad : Asymptote durch Polynomdivision
Bei gebrochen rationalen Funktionen musst du nicht mit dem Limes arbeiten (siehe oben). Bei allgemeinen Funktionen dagegen kommt man meist nicht ohne eine Grenzwertberechnung zum Ziel.
Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, wird es sicher noch kommen.
Grüße,
zetamy
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