Polstelle - Nenneruntersuchung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Di 10.08.2004 | | Autor: | Elisa |
Hallo miteinander!
Ich komme nicht weiter und würde mich über eure Hilfe freuen:
Wenn ich bei einer Grenzwertuntersuchung einer Definitionslücke einer rational gebrochenen Funktion feststelle, dass der Nenner 0 und der Zähler ungleich Null wird, habe ich doch eine Polstelle. Wie finde ich aber heraus, und das ohne konkrete Zahlen einzusetzen!, ob es sich um eine gleichnamige oder ungleichnamige Polstelle handelt?
Laut meinen Unterlagen sollte eine "Nenneruntersuchung" folgen, die aber so kurz ausfällt, dass nur die Lösung, das -->+oder-Unendlich angegeben ist.
Liebe Grüße, Elisa
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hi Elisa,
ich nehme an, mit "(un-)gleichnamig" meinst du, ob die Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat, oder nicht.
Das kann man daran erkennen, wie hoch der zugehörige Linearfaktor ist, der zu dieser Polstelle gehört.
Beispiel: wenn der Bruch so heißen würde:
[mm] 1/(x^6-14x^5+80x^4-238x^3+387x^2-324x+108)
[/mm]
dann könnte man ausrechnen, dass die Polstellen hier x=1 , x=2 und x=3 sind. Und hier wird's wichtig, eine 'wievielfache' Nullstelle des Nenners das jeweils ist.
In meinem Beispiel lässt sich der Nenner (mit dem Wissen über die Nullstellen) faktorisieren zu
[mm] 1/((x-1)*(x-2)^2*(x-3)^3)
[/mm]
Und hier erkennt man, dass man bei x=1 und x=3 Polstellen mit Vzw, und bei x=2 ne Polstelle ohne Vzw hat; das lässt sich am Exponenten der Faktoren ablesen. Beim Faktor [mm] (x-2)^2 [/mm] ist's nämlich egal, ob man ne etwas kleinere, oder ne etwas größere Zahl als 2 einsetzt: wegen der geraden Hochzahl erhält man beide Male dasselbe Ergebnis.
Klar geworden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Di 10.08.2004 | | Autor: | Elisa |
Danke erstmal e.kandrai! Im Prinzip schon (das Faktorisieren war mir neu, find ich aber ganz praktisch), der Wurm steckt aber eigentlich einen Schritt weiter hinten (Das Fragen Stellen ist auch so eine Sache  ...
Am Besten geh ich mal ein einfaches Beispiel durch, dann sieht man, wo es hapert:
[mm]f(x)=\bruch{(x+1)}{-x^2+2x+3}[/mm]
--> Mit Lösungsformel Definitionslücken bei 3 und -1
[mm]\limes_{x \to \-1^\pm}\bruch{(x+1)}{-x^2+2x+3}=[/mm][mm]\limes_{h \to \0} \bruch{((-1\pm h)+1)}{-1*(-1\pm h)+1)*(-1\pm h-3)}= \bruch{1}{4}[/mm]
[mm]\limes_{x \to \3^\-} [/mm][mm] \bruch{x+1}{-1*(x+1)*(x-3)}= ... \bruch{1}{0}[/mm]
--> Beim Binom (x-3) folgere ich eine ungleichnamige Polstelle an der Stelle x=3. Und jetzt meine Frage: Wie erkenne ich, ob die Funktion dort, angenommen von Links kommend, gegen + oder - Unendlich läuft? Ich kann zwar kleine Werte in die Funktionsgleichung einsetzen und je nach Vorzeichen des Ergebnisses auf + oder - Unendlich schließen, aber gibt es da nicht einen Vorgang wie bei der Grenzwertuntersuchung wie oben?
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Gruß!
Also, ich würde mir einfach "vorstellen", x wäre nahe an 3, aber kleiner als 3. Nicht unbedingt einsetzen, aber einfach im Kopf behalten. Mit "nahe an 3" meine ich so nahe, dass keine (andere) Nullstelle oder Polstellte der Funktion dazwischenliegt und die ganze Untersuchung hinfällig macht.
Wenn x aber knapp kleiner ist als 3, dann ist $(x - 3)$ negativ. Der andere Term, der vorkommt hingegen ist $(x + 1)$ und der ist positiv. Wenn ich also pos. Terme durch ein "+" symbolisiere und negative durch ein "-" ergibt sich für den Bruch:
[mm] $\frac{x+1}{(-1)(x+1)(x-3)}$ [/mm] "ist vom Vorzeichen her wie" [mm] $\frac{+}{- \cdot + \cdot -}$ [/mm] also [mm] $\frac{+}{+}$, [/mm] also positiv.
Sowas bitte nie irgendwo hinschreiben, Dein Tutor würde Dir die Ohren langziehen... aber es soll zeigen, wie man die Vorstellung erhält.
Mit anderen Worten: links von der Polstelle ist das Vorzeichen +, also geht die Funktion gegen $+ [mm] \infty$. [/mm] Die gleiche Untersuchung für die andere Seite zeigt natürlich, dass es von rechts gegen $- [mm] \infty$ [/mm] gehen muß, denn nur der $x-3$ Term ändert ja das Vorzeichen von - in +. Und daran zeigt sich jetzt auch, warum die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner anzeigt, um welche Art Polstelle (mit oder ohne Vorzeichenwechsel) es sich handelt: nur an diese Stelle wird aus + ein - und andersrum und wenn der Exponent gerade ist, dann wird dies schon wieder "verschluckt", sonst bleibt es erhalten.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Elisa |
Hi Lars und vielen Dank, ist mir sonnenklar.
Mein Gott, ich glaube, jetzt hab ich auch kapiert, was unser Prof. mit der "Nenneruntersuchung" gemeint hat! Wir haben nämlich bei unseren Beispielen am Anfang nie Faktorisiert, und so ist am Schluss bei der Grenzwertuntersuchung an einer Definitionslücke meist ein Polynom im Nenner gestanden, von dem jedes Glied gegen Null gegangen ist. Und dann haben wir - quasi im Nachhinein - Fakorisiert und dem die Bezeichnung "Nenneruntersuchung" gegeben! Ja, ich glaub, das isses! Aye!
Danke nochmal und liebe Grüße!
Elisa
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