Polarzerlegung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:53 Fr 05.07.2013 | | Autor: | Mila007 |
| Aufgabe | | Finden Sie die Polarzerlegung A = OP für A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } \in \IR [/mm] 3x3 |
Hallo,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu berechnen, aber komm irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe mir kann einer sagen wo der Fehler liegt.
Zuerst habe ich die ONB bestimmt mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens.
Gesucht sind also B= {v1, v2, v3}
b1 = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
b2 = [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
b3 = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
b1 = v1
<v1,v1> = [mm] b1^{t} [/mm] * b1 = 3
v2 = b2 - [mm] \bruch{}{} [/mm] * v1 = [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
<v2,v2> = [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}^{t} [/mm] * [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
v3 = b3 - [mm] \bruch{}{} [/mm] * v2 - [mm] \bruch{}{} [/mm] *v1 = [mm] \vektor{0 \\ - \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
<v3,v3> = [mm] \vektor{0 \\ - \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}^{t} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ - \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> B = ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{2}{3}}} [/mm] * [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{2}}} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ - \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] )
dann habe ich die Matrix P = [mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f } [/mm] bestimmt.
[mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = a * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm]
=> a = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\1 } [/mm] = b * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + c * [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{2}{3}}} [/mm] * [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
=> b = [mm] \bruch{2* \wurzel{3}}{3}
[/mm]
=> c = [mm] \bruch{\wurzel{6}}{3}
[/mm]
[mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] = d* [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + e* [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{2}{3}}} [/mm] * [mm] \vektor{- \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}} [/mm] + f* [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{2}}} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ - \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
=> d = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3}
[/mm]
=> e = [mm] \bruch{\wurzel{6}}{6}
[/mm]
=> f = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Somit hab ich P = [mm] \pmat{ \wurzel{3} & \bruch{2* \wurzel{3}}{3} & \bruch{\wurzel{6}}{3} \\ 0 & \bruch{\wurzel{3}}{3} & \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} } [/mm]
Aber bei der Probe O*P kommt A nicht raus.
Danke und Liebe Grüße,
Mila
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 07.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
