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Polarkoordinaten: nach y auflösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:47 Mi 06.11.2013
Autor: sonic5000

Hallo,
folgende Funktion soll in Polarkoordinaten dargestellt werden:

[mm] (x^2+y^2)^2-2xy=0 [/mm]

Ich finde leider keinen Ansatz... Muss ich die Funktion erst nach y auflösen? Wenn ja wie?

Besten Dank im Vorraus...
        
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Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:06 Mi 06.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  folgende Funktion soll in Polarkoordinaten dargestellt
> werden:
>  
> [mm](x^2+y^2)^2-2xy=0[/mm]
>  
> Ich finde leider keinen Ansatz... Muss ich die Funktion
> erst nach y auflösen? Wenn ja wie?


Hallo sonic5000,

erstens: es handelt sich gar nicht um eine Funktion,
sondern um eine Kurvengleichung.

Für den Übergang von der Darstellung in den kartesischen
x-y-Koordinaten zu den Polarkoordinaten r und [mm] \varphi [/mm]
brauchst du eigentlich nur die Transformationsgleichungen
[mm] x=r*cos(\varphi) [/mm]  ,  [mm] y=r*sin(\varphi) [/mm]   und dann etwas Algebra und
eine passende trigonometrische Formel.

Auflösen nach y wäre eher mühsam und auch nicht
zielführend. In Polarkoordinaten kann man aber zu
einer Darstellung in der Form  [mm] r(\varphi)= [/mm] ......  kommen.

LG ,   Al-Chw.

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Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:14 Mi 06.11.2013
Autor: sonic5000

Alles klar... Besten Dank für die schnelle Antwort...
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Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:00 Do 07.11.2013
Autor: sonic5000

So jetzt aber mal eine Brot und Butter Aufgabe... ;-)

Wenn ich die Transformationsgleichungen einsetzte dann bekomme ich folgende Gleichung:

[mm] r^4cos^4(phi)+2r^4cos^2(phi)sin^2(phi)+r^4sin^4(phi)-2r^2cos(phi)sin(phi)=0 [/mm]

Kann mir die bitte jemand in Zwischenschritten kaputt hauen?

Es soll hinterher folgende Gleichung herauskommen:

[mm] r=\wurzel{2sin(phi)cos(phi)} [/mm]

Ich habe alles probiert... Ich glaube ich bin zu unkreativ für Algebra ;-)

LG und besten Dank im Voraus...
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Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:38 Do 07.11.2013
Autor: reverend

Hallo sonic,

man kann sich das Leben auch schwer machen.

> So jetzt aber mal eine Brot und Butter Aufgabe... ;-)

Hä? [haee] Versteh ich nicht.

> Wenn ich die Transformationsgleichungen einsetzte dann
> bekomme ich folgende Gleichung:
> [mm]r^4cos^4(phi)+2r^4cos^2(phi)sin^2(phi)+r^4sin^4(phi)-2r^2cos(phi)sin(phi)=0[/mm]

Oha. Multiplizierst Du immer lieber erst aus? Ich würde ja so früh wie möglich zusammenfassen.
So gilt ja z.B. [mm] x^2+y^2=r^2. [/mm]

> Kann mir die bitte jemand in Zwischenschritten kaputt
> hauen?

Nee, da fange ich lieber woanders an. Wir hatten eingangs

[mm] (x^2+y^2)^2-2xy=0 [/mm]

und Al hatte den Tipp gegeben [mm] x=r\cos{\varphi} [/mm] und [mm] y=r\sin{\varphi}, [/mm] das ist ja die normale Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische. Die muss man draufhaben.

Mit dem "trigonometrischen Pythagoras" [mm] \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 [/mm] bekommst Du auch meine Gleichung für [mm] r^2 [/mm] von oben.

Dann setzen wir mal etwas sparsamer ein:

[mm] (x^2+y^2)^2-2xy=(r^2)^2-2r\cos{(\varphi)}*r\sin{(\varphi)}=0 [/mm]

> Es soll hinterher folgende Gleichung herauskommen:
>  
> [mm]r=\wurzel{2sin(phi)cos(phi)}[/mm]

Na, das ist aber auch noch nicht ganz schön zusammengefasst. Immerhin gilt ja [mm] 2\sin{(\varphi)}\cos{\varphi}=\sin{(2\varphi)}. [/mm] Additionstheorem.
  
> Ich habe alles probiert...

Niemals.

> Ich glaube ich bin zu unkreativ
> für Algebra ;-)

Möglich, aber unwahrscheinlich. Ich denke, Du hast nur zuwenig Übung.
Jetzt lös mal die letzte (Kurven-)gleichung oben nach r auf, wobei Du $r=0$ ausschließen solltest. Dann kann man sie nämlich wunderbar vereinfachen - unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt.

> LG und besten Dank im Voraus...

Na dann: viel Erfolg!
reverend
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Polarkoordinaten: elegant
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Do 07.11.2013
Autor: sonic5000

Ja, so ist es irgendwie eleganter... ;-)

Nur aus Neugierde, ist es irgendwie möglich die xy Gleichung nach y aufzulösen? Habe ich probiert und bin gescheitert... :-(

LG
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Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Do 07.11.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Ja, so ist es irgendwie eleganter... ;-)

>
> Nur aus Neugierde, ist es irgendwie möglich die xy
> Gleichung nach y aufzulösen?

Meinst du $ [mm] (x^2+y^2)^2-2xy=0 [/mm] $

Diese Gleichung kannst du mit denselben Schritten nach y auflösen, wie nach x.

> Habe ich probiert und bin gescheitert... :-(

Dann wäre es schön, wenn du einige deiner Versuche mit angegeben hättest, evtl wäre da ja was brauchwares bei gewesen.

>
> LG
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Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Do 07.11.2013
Autor: fred97


> Ja, so ist es irgendwie eleganter... ;-)
>  
> Nur aus Neugierde, ist es irgendwie möglich die xy
> Gleichung nach y aufzulösen? Habe ich probiert und bin
> gescheitert... :-(
>  
> LG

Du kannst den Satz über implizit definierte Funktionen bemühen .....

ich hab mir die Kurve mal plotten lassen:

[a]Datei-Anhang

FRED
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Polarkoordinaten: Freund Wolf
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Do 07.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Ja, so ist es irgendwie eleganter... ;-)
>  
> Nur aus Neugierde, ist es irgendwie möglich die xy
> Gleichung nach y aufzulösen? Habe ich probiert und bin
> gescheitert... :-(


Naja, das ist auch nicht sehr verwunderlich, denn
die Gleichung ist eine ganzrationale Gleichung vierten
Grades. Nun sind zwar alle derartigen Gleichungen
mittels Wurzelausdrücken auflösbar, aber im einzelnen
Fall kann das dann doch ganz schön kompliziert
werden. Um dir einen Geschmack davon zu machen:
wir haben im Internet seit ein paar Jahren einen
freundlichen Wolf, der für uns gerne auch derartige
Knochen abknabbert. Also, hier die Lösung der
vorliegenden Gleichung bei   []Wolf  Ram-Alpha

Noch Lust, die Gleichung eigenhändig zu lösen ?

LG

:-)   Alpha-Chwarizmi

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Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Do 07.11.2013
Autor: fred97

Wir setzen [mm] f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2xy [/mm]


Nehmen wir mal [mm] (x_0,y_0):=(\bruch{2}{5},\bruch{4}{5}) [/mm]

Dann rechnet man nach:

     [mm] f(x_0,y_0)=0 [/mm]  und [mm] $f_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0.$

Der Satz über implizit definierte Funktionen sagt nun:

    es gibt eine Umgebung $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] von [mm] x_0 [/mm]  und genau eine Funktion $y:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit:

         [mm] y(x_0)=y_0 [/mm] und $f(x,y(x))=0$  für alle $x [mm] \in [/mm] U$.

Also: [mm] $(x^2+y(x)^2)^2-2xy(x)=0$ [/mm]  für alle $x [mm] \in [/mm] U$.
Bezug
                                                
Bezug
Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Do 07.11.2013
Autor: sonic5000

Oh je, das ist jetzt alles ein bisschen viel für mich... Aber per Hand macht das dann wohl kein Spaß mehr ;-)
Leider verstehe ich das mit den implizierten Funktionen noch nicht so ganz, weil ich mit der "Sprache" der  Mathematik noch nicht so ganz eins bin... Aber wir arbeiten daran...

LG
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