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Ich habe die Lemniskate in kartesischen Koordinaten gegeben:
L={(x,y) [mm] \in IR^2: (x^2+y^2)^2 [/mm] - [mm] 2a^2(x^2-y^2)=0 [/mm] }
Nun versuche ich zu zeigen, dass L in Polarkoordinaten durch [mm] r=a\wurzel{2cos(2t)} [/mm] gegeben wird.
Ich habe zuerst die Gleichung mit den kartesischen Koordinaten umgeformt:
[mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] = [mm] 2a^2(x^2-y^2)
[/mm]
zieht man die Wurzel, ergibt sich:
[mm] (x^2+y^2) [/mm] = [mm] a\wurzel{2(x^2-y^2)}
[/mm]
Müsste nun [mm] x^2-y^2 [/mm] = cos(2t) sein? Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Di 12.05.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe die Lemniskate in kartesischen Koordinaten
> gegeben:
> L={(x,y) [mm]\in IR^2: (x^2+y^2)^2[/mm] - [mm]2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Nun versuche ich zu zeigen, dass L in Polarkoordinaten
> durch [mm]r=a\wurzel{2cos(2t)}[/mm] gegeben wird.
>
> Ich habe zuerst die Gleichung mit den kartesischen
> Koordinaten umgeformt:
>
> [mm](x^2+y^2)^2[/mm] = [mm]2a^2(x^2-y^2)[/mm]
> zieht man die Wurzel, ergibt sich:
> [mm](x^2+y^2)[/mm] = [mm]a\wurzel{2(x^2-y^2)}[/mm]
>
> Müsste nun [mm]x^2-y^2[/mm] = cos(2t) sein? Ich weiß nicht, wie ich
> dies beweisen soll.
Hallo,
nach Additionstheoremen (speziell der Doppelwinkelformel) gilt cos2x=cos²x-sin²x.
Gruß Abakus
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