Polare und Tangenten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | <br>1.Im [mm] \IR^2 [/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
(x − [mm] 1)^2 [/mm] + (y − [mm] 3)^2 [/mm] = 25
und die Punkte [mm] p_1 [/mm] = (6, 6) und [mm] p_2 [/mm] = (2, 2) gegeben.
a) Berechnen Sie die Gleichungen der Polaren von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] bezüglich K.
b) Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten durch [mm] p_1 [/mm] an den Kreis K.
2.Im [mm] \IR^2 [/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 25
und die Punkte [mm] p_1 [/mm] = (5, 3) und [mm] p_2 [/mm] = (1,−1) gegeben.
a) Berechnen Sie die Gleichungen der Polaren von p1 und [mm] p^2 [/mm] bezüglich K.
b) Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten durch [mm] p_1 [/mm] an den Kreis K.
|
<br>
Das ist ja im Grunde genommen zweimal die gleiche Aufgabe. Am meisten Kopf zerbrechen bereitet mir momentan der Aufgabenteil a, da ich einfach nicht mehr auf die Technik komme, mit der ich vorgehen muss um die Polarengleichungen zu berechnen.
Bei der b) ist es doch so, dass ich die Polarengleichung auflöse und dann in die Kreisgleichung einsetze, das ausrechne und erneut in die Polarengleichung einsetze um dann aus den beiden Polaren die Tangentengleichung zusammenzubasteln?
|
|
| |
|
Hallo,
die Gleichung einer Polaren zum Pol P bekommt man so:
[mm] \left(\vec{p}-\vec{m}\right)*\left(\vec{x}-\vec{m}\right)=r^2
[/mm]
Darin ist [mm] \vec{p} [/mm] der Pol, [mm] \vec{m} [/mm] der Kreismittelpunkt und r der Kreisradius.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo, danke für den Hinweis.
Ich habe das jetzt mal gerechnet und wollte euch das mal zeigen ob ich mich irgendwo verhauen habe.
Also nochmal die Aufgabenstellung:
1.Im [mm] \IR^2 [/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
(x − [mm] 1)^2 [/mm] + (y − [mm] 3)^2 [/mm] = 25
und die Punkte [mm] p_1 [/mm] = (6, 6) und [mm] p_2 [/mm] = (2, 2) gegeben.
a) Berechnen Sie die Gleichungen der Polaren von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] bezüglich K.
b) Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten durch [mm] p_1 [/mm] an den Kreis K.
2.Im [mm] \IR^2 [/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 25
und die Punkte [mm] p_1 [/mm] = (5, 3) und [mm] p_2 [/mm] = (1,−1) gegeben.
a) Berechnen Sie die Gleichungen der Polaren von p1 und [mm] p^2 [/mm] bezüglich K.
b) Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten durch [mm] p_1 [/mm] an den Kreis K.
Ich habe jetzt jeweils für die a) die Polare berechnet so wie ich meine, dass es funktioniert:
Polare erhalte ich durch <(x-m),(p-m)>= [mm] r^2[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] \vektor{x_1 - m_1 \\x_2 - m_2} \vektor{p_1 - m_1 \\ p_2 - m_2} = r^2[/mm]
in 1.a) ist mein m = [mm] \vektor{-1 \\ -3}[/mm] abzulesen an der Gleichung durch die Verschiebung um den Nullpunkt r=5.
Somit erhalte ich für die beiden Polare in a) folgende Gleichungen:
[mm]\vektor{x_1 +1 \\x_2 +3} \vektor{6 +1 \\ 6 +3} = 25 \gdw (x_1+1)7 + (x_2+3)9 = 25 \gdw 7x_1+7 + 9x_2 + 27 = 25 \gdw
7x_1 + 9x_2 + 36 = 25 \gdw 7_x1 + 9x_2 = -11
\vektor{x_1 +1 \\x_2 +3} \vektor{2 +1 \\ 2 +3} = 25 \gdw (x_1+1)3 + (x_2+3)5 =25 \gdw
3x_1 + 3 + 5x_2 + 15 = 25 \gdw 3x_1 + 5 x_2 + 18 = 25 \gdw 3x_1 + 5x_2 = 7
[/mm]
So die einge Gleichung ist jetzt negativ davon, daher vermute ich mal, dass es außerhalb des Kreises liegt? Ist es dann trotzdem legitim eine Polarengleichung aufzustellen oder lässt man das an der Stelle dann weg?
2. a) m = [mm] \vektor{0 \\ 0}[/mm], r = 5 wie oben.
Daher sehen meine Gleichungen dann wieder was einfacher aus:
[mm]\vektor{x_1 \\x_2} \vektor{5 \\ 3} = 25 \gdw 5x_1+3x_2 = 25
\vektor{x_1 \\x_2} \vektor{1 \\ -1} = 25 \gdw x_1 - x_2 = 25[/mm]
habe ich das soweit korrekt gemacht? Gleich wage ich mich noch an die Tangenten ran. Danke schonmal für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
das ist leider völlig falsch, da das hier:
>
> in 1.a) ist mein m = [mm]\vektor{-1 \\ -3}[/mm] abzulesen
nicht stimmt. Der Kreismittelpunkt ist hier
[mm] \vec{m}=\vektor{1\\3}
[/mm]
Du hast also die Vorzeichen verkehrt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die Korrekturlesung. Aber bis auf den VOrzeichenfehler habe ich alles richtig?
Den Vorzeichenfehler den ich gemacht habe, ist aus dem Gedanken heraus enstanden, dass ich den Kreismittelpunkt wohl an der Stelle (0,0) habe.
Habe es jetzt gefunden nach weiterem nachforschen. Meine Frage an der Stelle wäre dann aber jetzt noch: Warum ist das so dass die Vorzeichen in der Kreisgleichung anders sind als die Koordinaten des Mittelpunkts?
2. Frage: Was bedeutet es für die Polarengleichung wenn mein Punkt nicht auf dem Kreis liegt, ist es dann überhaupt sinnvoll diese Gleichung aufzustellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Fr 21.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Gleichung [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] hat und den Mittelpunkt von (0,0) nach (a,b) verschiebst haben alle punkte dieses kreises den Abstand 5 von (a,b)
wie rechnst du jetzt den Abstand eines Punktes (x,y) von (a,b) aus?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Stimmt, hatte ich übersehen.
Anschlußfrage: Ist es sinnvoll bzw macht man das überhaupt Polarengleichungen aufzustellen für Punkte die nicht auf dem Kreis liegen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Fr 21.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche Punkte sind denn für Polaren auf dem Kreis?
die interessanten Polaren sind die zu Punkten P außerhalb des Kreises, damit kann man die Berührpunkte der Tangenten von P an den Kreis finden.
Liegt P innerhalb des K dann liegen auf der außerhalb liegenden Polare alle Punkte von denen aus man den Kreis unter gleichem Winkel sieht.
legt P auf dem Kreis ist die polare die Tangente in P
also musst du vielleicht deine frage genauer stellen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Ah ok, verstehe.
Das heißt also ich kann für beliebige Polare auch die Tangenten berechnen, egal wo sie liegen, es ist also nicht Kreisgebunden? Oder hängt die Tangente dann letzten Endes noch mit dem Kreis zusammen, bzw eine der Tangenten zumindest?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das heißt also ich kann für beliebige Polare auch die
> Tangenten berechnen, egal wo sie liegen, es ist also nicht
> Kreisgebunden? Oder hängt die Tangente dann letzten Endes
> noch mit dem Kreis zusammen, bzw eine der Tangenten
> zumindest?
Sorry, aber den Sinn der obigen Frage kann niemand verstehen, der nicht im Besitz einer funktionierenden Kristallkugel ist.
Zum einen ist es ja ratsam, immer nur das zu tun, was in einer Aufgabe gefordert ist, zum anderen könnnte die Lektüre der üblichen ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Seite deine Fragen wohl klären.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Grapadura |
Danke, konnte jetzt alles klären, hatte wirklich ne falsche Idee von dem ganzen im Kopf und nicht daran gedacht mal Wikipedia zu konsultieren.
|
|
|
|
