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***nix rumgepostet***
Aufgabe 97 (Stochastikübung Uni Zürich):
Wir setzen voraus, dass die Anzahl G der Gäste pro Nacht, die in einer Berghütte übernachten, einer Poisson-Verteilung folgt.
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen übernachten, ist doppelt so gross als jene, dass nur eine Person übernachtet. Bestimmen Sie den Erwartungswert von G.
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass morgen Abend niemand übernachten will?
c) In der Hütte hat es nur Matratzen für vier Gäste. Wenn mehr kommen, müssen die Überzähligen im Stroh nächtigen. Die Zufallsgrösse M bezeichnet die Anzahl der Gäste, die auf einer Matratze schlafen können. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von M.
Meine Lösungen:
a.
[mm]P(G=2)=\bruch{\lambda^2}{2!}e^{- \lambda}=2*\big(P(G=1)=\bruch{\lambda^1}{1!}e^{- \lambda}\big)[/mm]
[mm]\bruch{\lambda^2}{2}e^{- \lambda}=2*\big\lambda * e^{- \lambda}[/mm]
[mm]\lambda^2*e^{- \lambda}=4*\big\lambda * e^{- \lambda} \multsp\multsp\Rightarrow\multsp\multsp\underline{\lambda=4}[/mm]
b.
W'keit, dass morgen niemand übernachtet
[mm]P(G=0)=\bruch{\lambda^0}{0!}e^{- \lambda}\multsp=\multsp e^{-4}\multsp=\multsp\underline{0.0183156}[/mm]
c.
Zufallsgrösse [mm]M[/mm], gesucht [mm]E(M)[/mm] und [mm]V(M)[/mm]
Zufallsgrösse [mm]M[/mm]: Anzahl Gäste, die auf einer Matraze schlafen.
[mm]M=\mathcal{f}0,\multsp 1,\multsp 2,\multsp 3,\multsp 4,\mathcal{g}[/mm]
Erwartungswert [mm]E(M):[/mm]
[mm]E(M)\multsp=\multsp \sum_{k=0}^3 k*\bruch{4^k}{k!}*e^{-4}\multsp+\multsp4*\big(1\multsp-\multsp \sum_{k=0}^3 \bruch{4^k}{k!}*e^{-4}\big)\multsp=\multsp \underline{3.218533}[/mm]
Bis hierher habe ich ein gutes Gefühl, was meine Lösung betrifft. Aber wie geht es weiter ?
Bei einer Poissonverteilung würde ich eingentlich [mm]E(M)\multsp=\multspV(M)[/mm] annehmen.
Allerdings sind die Werte hier nicht abzählbar unendlich sondern durchaus überschaubar.
Mein - zu überprüfender - Lösungsansatz daher:
[mm]P(M=0)\multsp=\multsp P(G=0)\multsp=\multsp \bruch{4^0}{0!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.018317 \multsp=\multsp p_0[/mm]
[mm]P(M=1)\multsp=\multsp P(G=1)\multsp=\multsp \bruch{4^1}{1!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.073263 \multsp=\multsp p_1[/mm]
[mm]P(M=2)\multsp=\multsp P(G=2)\multsp=\multsp \bruch{4^2}{2!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.146525 \multsp=\multsp p_2[/mm]
[mm]P(M=3)\multsp=\multsp P(G=3)\multsp=\multsp \bruch{4^3}{3!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.195367 \multsp=\multsp p_3[/mm]
[mm]P(M=4)\multsp=\multsp P(G \ge 4)\multsp=\multsp1-(\multsp \sum_{k=0}^3 p_k)\multsp= 0.566528 \multsp=\multsp p_4[/mm]
Varianz [mm]V(M): [/mm]
[mm]V(M)\multsp=\multsp \sum_{k=0}^4 \multsp(m_k-\lambda)^2*p_k [/mm]
[mm]V(M)\multsp=\multsp(0-4)^2*p_0\multsp+\multsp(1-4)^2*p_1\multsp+\multsp(2-4)^2*p_2\multsp+\multsp(3-4)^2*p_3\multsp+\multsp (4-4)^2*p_4[/mm]
[mm]V(M)\multsp=\multsp (0-4)^2*0.018317\multsp+\multsp (1-4)^2*0.073263\multsp+\multsp (2-4)^2*0.146525\multsp+\multsp (3-4)^2*0.195367 \multsp=\multsp \underline{1.733906}[/mm]
Unkenrufe behaupten nun aber, das Ergebnis laute:
[mm]V(M)\multsp=\multsp \underline{1.123189}[/mm]
Was stimmt nun und wo liegt allenfalls (m)ein Hund begraben ?
Danke fürs Nachrechnen
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Hallo Beni!
> ***nix rumgepostet***
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
> Wir setzen voraus, dass die Anzahl G der Gäste pro Nacht,
> die in einer Berghütte übernachten, einer
> Poisson-Verteilung folgt.
>
> a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen
> übernachten, ist doppelt so gross als jene, dass nur eine
> Person übernachtet. Bestimmen Sie den Erwartungswert von
> G.
>
> b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass morgen
> Abend niemand übernachten will?
>
> c) In der Hütte hat es nur Matratzen für vier Gäste. Wenn
> mehr kommen, müssen die Überzähligen im Stroh nächtigen.
> Die Zufallsgrösse M bezeichnet die Anzahl der Gäste, die
> auf einer Matratze schlafen können. Berechnen Sie den
> Erwartungswert und die Varianz von M.
>
>
> Meine Lösungen:
>
>
> a.
>
> [mm]P(G=2)=\bruch{\lambda^2}{2!}e^{- \lambda}=2*\big(P(G=1)=\bruch{\lambda^1}{1!}e^{- \lambda}\big)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\lambda^2}{2}e^{- \lambda}=2*\big\lambda * e^{- \lambda}[/mm]
>
> [mm]\lambda^2*e^{- \lambda}=4*\big\lambda * e^{- \lambda} \multsp\multsp\Rightarrow\multsp\multsp\underline{\lambda=4}[/mm]
(was gleichzeitig dem Erwartungswert von G entspricht)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b.
>
> W'keit, dass morgen niemand übernachtet
>
> [mm]P(G=0)=\bruch{\lambda^0}{0!}e^{- \lambda}\multsp=\multsp e^{-4}\multsp=\multsp\underline{0.0183156}[/mm]
> c.
>
> Zufallsgrösse [mm]M[/mm], gesucht [mm]E(M)[/mm] und [mm]V(M)[/mm]
>
> Zufallsgrösse [mm]M[/mm]: Anzahl Gäste, die auf einer Matraze
> schlafen.
>
> [mm]M=\mathcal{f}0,\multsp 1,\multsp 2,\multsp 3,\multsp 4,\mathcal{g}[/mm]
>
> Erwartungswert [mm]E(M):[/mm]
>
> [mm]E(M)\multsp=\multsp \sum_{k=0}^3 k*\bruch{4^k}{k!}*e^{-4}\multsp+\multsp4*\big(1\multsp-\multsp \sum_{k=0}^3 \bruch{4^k}{k!}*e^{-4}\big)\multsp=\multsp \underline{3.218533}[/mm]
Der Ansatz stimmt, die Lösung habe ich aber nicht nachgerechnet. Ich vertraue Dir da 
> Bis hierher habe ich ein gutes Gefühl, was meine Lösung
> betrifft. Aber wie geht es weiter ?
>
> Bei einer Poissonverteilung würde ich eingentlich
> [mm]E(M)\multsp=\multsp V(M)[/mm] annehmen.
> Allerdings sind die Werte hier nicht abzählbar unendlich
> sondern durchaus überschaubar.
>
> Mein - zu überprüfender - Lösungsansatz daher:
>
> [mm]P(M=0)\multsp=\multsp P(G=0)\multsp=\multsp \bruch{4^0}{0!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.018317 \multsp=\multsp p_0[/mm]
>
> [mm]P(M=1)\multsp=\multsp P(G=1)\multsp=\multsp \bruch{4^1}{1!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.073263 \multsp=\multsp p_1[/mm]
>
> [mm]P(M=2)\multsp=\multsp P(G=2)\multsp=\multsp \bruch{4^2}{2!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.146525 \multsp=\multsp p_2[/mm]
>
> [mm]P(M=3)\multsp=\multsp P(G=3)\multsp=\multsp \bruch{4^3}{3!}e^{-4}\multsp=\multsp 0.195367 \multsp=\multsp p_3[/mm]
>
> [mm]P(M=4)\multsp=\multsp P(G \ge 4)\multsp=\multsp1-(\multsp \sum_{k=0}^3 p_k)\multsp= 0.566528 \multsp=\multsp p_4[/mm]
Damit hast Du ja im Prinzip auch die Varianz von M bestimmt.
> Varianz [mm]V(M):[/mm]
>
> [mm]V(M)\multsp=\multsp \sum_{k=0}^4 \multsp(m_k-\lambda)^2*p_k[/mm]
Halt. Hier muss anstelle von [mm] $\lambda$ [/mm] der Erwartungswert von M stehen, denn [mm] $\lambda$ [/mm] ist ja nur der Erwartungswert von G, nicht von M!
> [mm]V(M)\multsp=\multsp(0-4)^2*p_0\multsp+\multsp(1-4)^2*p_1\multsp+\multsp(2-4)^2*p_2\multsp+\multsp(3-4)^2*p_3\multsp+\multsp (4-4)^2*p_4[/mm]
>
>
> [mm]V(M)\multsp=\multsp (0-4)^2*0.018317\multsp+\multsp (1-4)^2*0.073263\multsp+\multsp (2-4)^2*0.146525\multsp+\multsp (3-4)^2*0.195367 \multsp=\multsp \underline{1.733906}[/mm]
>
>
> Unkenrufe behaupten nun aber, das Ergebnis laute:
>
> [mm]V(M)\multsp=\multsp \underline{1.123189}[/mm]
>
> Was stimmt nun und wo liegt allenfalls (m)ein Hund begraben
> ?
Mit dem obigen Hinweis kommst Du dann hoffentlich auf die Unkenrufenlösung 
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Mi 18.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Brigitte !
Deine Tipps treffen wie immer ins Schwarze. Danke
Habe mit neuer Erkenntnis nachgerechnet:
Den neuen Erwartungswert [mm]\multsp\multsp E_{4Gaeste}(M)\multsp[/mm] ist nun : [mm]\multsp \multsp \gamma\multsp=\multsp 3.218533[/mm]
Die Formel für die Varianz lautet demnach neu
[mm]V(M)\multsp=\multsp \sum_{k=0}^4 \multsp(m_k-\gamma)^2\cdot{}p_k[/mm]
[mm]V(M)\multsp=\multsp(0-\gamma)^2\cdot{}p_0\multsp+\multsp(1-\gamma)^2\cdot{}p_1\multsp+\multsp(2-\gamma)^2\cdot{}p_2\multsp+\multsp(3- \gamma)^2\cdot{}p_3\multsp+\multsp (4-\gamma)^2\cdot{}p_4 [/mm]
bzw. ausgeschrieben:
[mm] V(M)\multsp=\multsp (0-3.218533)^2\cdot{}0.018317\multsp+\multsp (1-3.218533)^2\cdot{}0.073263\multsp+\multsp (2-3.218533)^2\cdot{}0.146525\multsp+\multsp (3-4)3.218533^2\cdot{}0.195367 \multsp=\multsp \underline{1.12320}[/mm]
Was genügend nahe an die Unkenlösung von [mm]1.123189[/mm] herankommt
Der Tag ist gerettet !
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
