Plückergleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in zwei von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom Punkt P1!
x + y = 0
2z -y = 1
P1 (4|2|3)
|
Hallo,
ich bin's mal wieder ;)
Kann mich nicht man an die Plückerform erinnern, kann mir jemand evt. anhand dieser Aufgabe (wollte die zur Übung für's Vorabi am Montag machen) evt. erklären wie ich diese Anwenden kann?
Nicht die ganze Aufgabe rechnen, sondern nur erklären, was ich evt. machen muss.
Mein Problem:
Ich weiß nicht wie ich die dritte Koordinatenebene bestimmen soll, und wie sich die anderen beiden ergeben haben?
Außerdem muss ich wissen, wenn ich de 3. Koordinatenebene habe, wie ich eine Geradengleichung daraus mache, um dannn Abstand v. Nullpunkt bzw. Punkt 1 zu berechnen.
Danke erstmal schon im Voraus,
MfG
Kristof
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
> Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in zwei
> von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und
> Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der
> Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom
> Punkt P1!
>
> x + y = 0
> 2z -y = 1
>
> P1 (4|2|3)
>
> Hallo,
> ich bin's mal wieder ;)
>
> Kann mich nicht man an die Plückerform erinnern, kann mir
> jemand evt. anhand dieser Aufgabe (wollte die zur Übung
> für's Vorabi am Montag machen) evt. erklären wie ich diese
> Anwenden kann?
>
> Nicht die ganze Aufgabe rechnen, sondern nur erklären, was
> ich evt. machen muss.
>
> Mein Problem:
> Ich weiß nicht wie ich die dritte Koordinatenebene
> bestimmen soll, und wie sich die anderen beiden ergeben
> haben?
Hab jetzt nochmal im Buch nachgelesen,
denke ich weiß wie ich die 3. Koordinatenebene bekomme ;)
Da die gleichungen voneinander Abhängig sind muss ich beide einfach nur addieren, indem Fall passt es sogar ohne eine weiter Multiplikation anzuführen :)
Die dritte Koordonatenebene müsste dann lauten :
2z +x = 1
Wäre das so richtig?
Jetzt habe ich alle drei Gleichungen :
x + y = 0
2z -y =1
2z + x = 1
Nun muss ich daraus nur noch meine Geradegleichung machen, was für mich schwer ist, und da wäre es toll wenn ihr mir helft ;)
> Außerdem muss ich wissen, wenn ich de 3. Koordinatenebene
> habe, wie ich eine Geradengleichung daraus mache, um dannn
> Abstand v. Nullpunkt bzw. Punkt 1 zu berechnen.
>
> Danke erstmal schon im Voraus,
> MfG
> Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Sa 01.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kristof,
schön zu sehen, daß die Plückerform nicht ganz in Vergessenheit geraten ist. 
AUFGABE:
Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in zwei von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom Punkt P1 (4|2|3).
x + y = 0 (Grundriss)
2z -y = 1 (Aufriss)
---------------------------
LÖSUNG:
Der Seitenriss ergibt sich durch Elimination von y (hier die beiden Gleichungen addieren):
x + 2z = 1 (Seitenriss)
Die Plückerform lautet allgemein:
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \times \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] = [mm] \vec{x_0} \times \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ [/mm] der Richtungsvektor der Geraden und [mm] $\vec{x_0}$ [/mm] der Ortsvektor.
Die erste Koordinatenzeile dieser Gleichung ergibt den Aufriss (weil x fehlt), die zweite den Seitenriss, die dritte den Grundriss.
Wenn du die Plückerform einfach allgemein ausrechnest und koordinatenweise schreibst, kannst du durch Vergleich der Koeffizienten mit den 3 Ebenengleichungen (die nennt man "projizierende Ebenen") den Richtungsvektor leicht ermitteln. Das ist eine gute Übung, um den Sinn der Plückerform zu durchschauen. Es geht auch einfach durch das Vektorprodukt zweier Normalenvektoren der projizierenden Ebenen. Einen Ortsvektor bekommst du leicht, indem du x, y oder z frei wählst und dann irgendeine Lösung des obigen LGS ermittelst.
Zur Abstandsberechnung:
Wenn du die Plückerform schreibst als [mm] $(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{x_0}) \times \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] und dann den Richtungsvektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] normierst, darfst du Ortsvektoren zu beliebigen Punkten P für [mm] $\vec{x}$ [/mm] in die Plückerform einsetzen. Die Länge des Vektors auf der rechten Seite liefert den gesuchten Abstand von Punkt P zur Geraden.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> schön zu sehen, daß die Plückerform nicht ganz in
> Vergessenheit geraten ist.
>
> AUFGABE:
> Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in zwei
> von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und
> Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der
> Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom
> Punkt P1 (4|2|3).
> x + y = 0 (Grundriss)
> 2z -y = 1 (Aufriss)
> ---------------------------
>
> LÖSUNG:
> Der Seitenriss ergibt sich durch Elimination von y (hier
> die beiden Gleichungen addieren):
> x + 2z = 1 (Seitenriss)
>
> Die Plückerform lautet allgemein:
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \times \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} = \vec{x_0} \times \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm].
>
> Dabei ist [mm]\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm] der Richtungsvektor
> der Geraden und [mm]\vec{x_0}[/mm] der Ortsvektor.
>
> Die erste Koordinatenzeile dieser Gleichung ergibt den
> Aufriss (weil x fehlt), die zweite den Seitenriss, die
> dritte den Grundriss.
> Wenn du die Plückerform einfach allgemein ausrechnest und
> koordinatenweise schreibst, kannst du durch Vergleich der
> Koeffizienten mit den 3 Ebenengleichungen (die nennt man
> "projizierende Ebenen") den Richtungsvektor leicht
> ermitteln. Das ist eine gute Übung, um den Sinn der
> Plückerform zu durchschauen.
Das habe ich mal probiert,
bin mir nicht sicher.
Habe aber folgendes raus :
a1 = -2
a2 = 2
a3 = 1
Demnach würde der Richtungsvektor der Geraden wie folgt lauten :
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
wäre das so richtig?
> Es geht auch einfach durch das Vektorprodukt zweier Normalenvektoren der projizierenden
> Ebenen. Einen Ortsvektor bekommst du leicht, indem du x, y
> oder z frei wählst und dann irgendeine Lösung des obigen
Habe ich auch versucht.
Habe z = 1 gewählt.
Dies dann eingegeben in :
2z -y = 1
2 -y = 1
y = 1
Dann z in :
x + 2z = 1
x + 2 = 1
x = -1
Also lautet der Ortsvektor :
[mm] \vec{x_0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
> Zur Abstandsberechnung:
> Wenn du die Plückerform schreibst als [mm](\vec{x} - \vec{x_0}) \times \vec{a} = \vec{0}[/mm]
> und dann den Richtungsvektor [mm]\vec{a}[/mm] normierst, darfst du
> Ortsvektoren zu beliebigen Punkten P für [mm]\vec{x}[/mm] in die
> Plückerform einsetzen. Die Länge des Vektors auf der
> rechten Seite liefert den gesuchten Abstand von Punkt P zur
> Geraden.
Das habe ich ganz und gar nicht verstanden?
Wie "normiere" ich denn z.B. [mm] \vec{a} [/mm] ?
Habe keine Ahnung.
Habe das über meine Methode gemacht, dauerte etwas länger.
Hoffe aber mal das es so auch richtig ist.
Zum Punkt P1 (4/2/3)
[mm] \vec{v} \* [/mm] ((OV- P1) + t (RV)) = 0
Für [mm] \vec{v} [/mm] nehme ich den Richtungsvektor der Gerade :
[mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} \* [/mm] ( [mm] \vektor{-5 \\ -1\\ -2} [/mm] ) + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0
0 = 10 + 4 t -2 +4t -2 +1t
0 = 6 + 9t
- 9t = 6
t = - 6/9
[mm] \vektor{2/3 \\ -2/3 \\ -1/3} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
=
[mm] \vektor{-8/3 \\ -10/3 \\ -11/3}
[/mm]
d = | [mm] \vektor{-8/3 \\ -10/3 \\ -11/3} [/mm] |
d = 5,6
Aber irgendwie muss das d = 5,1 rauskommen.
Habe wohl einen Fehler gemacht :-(
Nur wo?
Meine letzte Frage zu der Aufgabe bzw. Allgemein.
Wie errechne ich den Abstand zum Nullpunkt?
Da habe ich auch keine Ahnung :-(
Wäre nochmal sehr dankbar über Hilfe.
MfG
Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 01.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kristof,
> > AUFGABE:
> > Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in
> zwei
> > von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und
> > Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der
> > Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom
> > Punkt P1 (4|2|3).
> > x + y = 0 (Grundriss)
> > 2z -y = 1 (Aufriss)
> > ---------------------------
> Habe aber folgendes raus :
> a1 = -2
> a2 = 2
> a3 = 1
> Demnach würde der Richtungsvektor der Geraden wie folgt
> lauten :
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> wäre das so richtig?
ja.
> Habe z = 1 gewählt.
> Dies dann eingegeben in :
> 2z -y = 1
> 2 -y = 1
> y = 1
>
> Dann z in :
> x + 2z = 1
> x + 2 = 1
> x = -1
>
> Also lautet der Ortsvektor :
> [mm]\vec{x_0}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
ja.
> > Zur Abstandsberechnung:
> > Wenn du die Plückerform schreibst als [mm](\vec{x} - \vec{x_0}) \times \vec{a} = \vec{0}[/mm]
> > und dann den Richtungsvektor [mm]\vec{a}[/mm] normierst, darfst du
> > Ortsvektoren zu beliebigen Punkten P für [mm] $\vec{x}$ [/mm] in die
> > Plückerform einsetzen. Die Länge des Vektors auf der
> > rechten Seite liefert den gesuchten Abstand von Punkt P zur
> > Geraden.
>
> Das habe ich ganz und gar nicht verstanden?
> Wie "normiere" ich denn z.B. [mm] \vec{a} [/mm] ?
> Habe keine Ahnung.
du dividierst Vektor a durch seine eigene Länge:
[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -1} \quad |\vec{a}| [/mm] = [mm] \left|\vektor{2 \\ -2 \\ -1}\right| [/mm] = [mm] \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} [/mm] = 3.$
Mit normiertem Richtungsvektor lautet die Plückerform also:
[mm] $\left(\vec{x} - \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}\right) \times \frac{1}{3} \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vec{0}.$
[/mm]
Nach Einsetzen von P sollte sich rechts der Vektor [mm] $\vektor{-1 \\ -3 \\ 4}$ [/mm] ergeben und der hat Betrag [mm] $\sqrt{26}.$
[/mm]
Für den Abstand vom Ursprung setzt du den Ursprung für x ein.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> > > AUFGABE:
> > > Eine Gerade g im Raum sei durch ihre Bildgeraden in
> > zwei
> > > von den drei Koordinatenebenen (grundriß, Aufriß und
> > > Seitenriß) gegeben. Ermittle die Plückergleichung der
> > > Gerade g und berechne ihren Abstand vom Nullpunkt und vom
> > > Punkt P1 (4|2|3).
> > > x + y = 0 (Grundriss)
> > > 2z -y = 1 (Aufriss)
> > > ---------------------------
>
> > Habe aber folgendes raus :
> > a1 = -2
> > a2 = 2
> > a3 = 1
> > Demnach würde der Richtungsvektor der Geraden wie folgt
> > lauten :
> >
> > [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> >
> > wäre das so richtig?
>
> ja.
>
> > Habe z = 1 gewählt.
> > Dies dann eingegeben in :
> > 2z -y = 1
> > 2 -y = 1
> > y = 1
> >
> > Dann z in :
> > x + 2z = 1
> > x + 2 = 1
> > x = -1
> >
> > Also lautet der Ortsvektor :
> > [mm]\vec{x_0}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> ja.
>
> > > Zur Abstandsberechnung:
> > > Wenn du die Plückerform schreibst als [mm](\vec{x} - \vec{x_0}) \times \vec{a} = \vec{0}[/mm]
> > > und dann den Richtungsvektor [mm]\vec{a}[/mm] normierst, darfst du
> > > Ortsvektoren zu beliebigen Punkten P für [mm]\vec{x}[/mm] in die
> > > Plückerform einsetzen. Die Länge des Vektors auf der
> > > rechten Seite liefert den gesuchten Abstand von Punkt P zur
> > > Geraden.
> >
> > Das habe ich ganz und gar nicht verstanden?
> > Wie "normiere" ich denn z.B. [mm]\vec{a}[/mm] ?
> > Habe keine Ahnung.
>
> du dividierst Vektor a durch seine eigene Länge:
> [mm]\vec{a} = \vektor{2 \\ -2 \\ -1} \quad |\vec{a}| = \left|\vektor{2 \\ -2 \\ -1}\right| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3.[/mm]
>
> Mit normiertem Richtungsvektor lautet die Plückerform
> also:
> [mm]\left(\vec{x} - \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}\right) \times \frac{1}{3} \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} = \vec{0}.[/mm]
>
> Nach Einsetzen von P sollte sich rechts der Vektor
> [mm]\vektor{-1 \\ -3 \\ 4}[/mm] ergeben und der hat Betrag
> [mm]\sqrt{26}.[/mm]
> Für den Abstand vom Ursprung setzt du den Ursprung für x
> ein.
Ist wahrscheinlich eine ganz bescheuerte Frage,
aber ich steh mal wieder total auf dem schlauch :-(
Wie bekomme ich denn den Ursprung raus?
> LG
> Will
Vielen Dank,
MfG
Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 01.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kristof,
der Ursprung hat die Koordianten (0|0|0).
....mußt aber nicht gleich rot anlaufen 
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> der Ursprung hat die Koordianten (0|0|0).
>
> ....mußt aber nicht gleich rot anlaufen
Tue ich aber gerade ;)
Und das ist immer so?
Also wenn der Abstand nach dem 0. Punkt bzw. Ursprung gefragt wird, hat dieser die Koordinaten (0|0|0)?
Bin ein völliger Mathe-Muffel, und das im LK,
es geht einfach nur um's überlegen, also entschuldige bitte, meine sicherlich teil's sehr dummen Fragen ;)
> Gruß
> Will
MfG
Kristof
|
|
|
|
