Picard Lindelöf? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 24.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Betrachte das folgende Anfangswertproblem
u′(t) = λ [mm] u^p(t) [/mm] + f(t),
u(0) = [mm] u_{0}
[/mm]
wobei p∈[1,∞),λ>0, [mm] u_{0} [/mm] ∈ R mit [mm] u_{0} [/mm] >0 und f ∈ C([0,T];R).
Für jede Lösung des Anfangswertproblems gelte
u(t) ≥ 0, für alle t ∈ [0,T], sowie
[mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds}< \infty
[/mm]
Zeige, dass eine eindeutige Lösung auf ganz [0, T ] existiert. |
Hallo liebes Forum
Meine Frage ist kann ich hier einfach P-L anwenden in der globalen Fassung oder muss ich noch etwas beachten??
Würde dann nämlich sagen das für [mm] f(t,u(t))=\lambda u^p(t) [/mm] + f(t)
f in der zweiten komponente nach Voraussetzung diff´bar ist und auf [0,T]
beschränkt und somit Lipschitz stetig ist und nach P-L dann auf [0,T]
eine eindeutige Lösung existiert!
Bin mir da aber sehr unsicher!
LG
Jule
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
Keiner einen Tip für mich??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Was mich bei dieser Aufgabe wundert, ist die Vor.
$ [mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds}< \infty [/mm] $.
Ist nämlich u eine Lösung des AWPs auf [0,T] , so ist u auf [0,T] differenzierbar ,
dort also auch stetig.
Da p [mm] \ge [/mm] 1 ist, ist [mm] u^{p-1} [/mm] auf [0,T] stetig und somit ex. das Integral [mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds}
[/mm]
Handelt es sich in dieser Aufgabe möglicherweise um einen verallgemeinerten Differenzierbarkeitsbegriff und damit auch um einen verallgemeinerten Lösungsbegriff ?
FRED
|
|
|
|
