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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 00:31 So 11.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
Zunächst: Vielleicht wäre es sinnvoll aus der Frage eine Umfrage zu machen!
Ich habe Interesse mehr über die ![[]](/images/popup.gif) Philosophie der Mathematik zu erfahren.
Laut Wikipedia gibt es drei Hauptbereiche:
a) Seinsweise der mathematischen Objekte
b) Ursprung des mathematischen Wissens
c) Verhältnis von Mathematik und Realität
Alle Bereiche finde ich interessant.
Es gibt verschiedene Ansichten und damit verschiedene Theorien.
1. Welche Theorie sagt euch zu und warum?
2. Habt ihr eine Literaturempfehlung?
Vielleicht sollte ich mich zunächst mit der Axiomatische Mengenlehre befassen?
Viele Grüße
DieAcht
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Hallo,
ich glaube so ein Standard-Werk für den Philosophischen Charakter ist das Buch von Betrand Russell: "Einführung in die mathematische Philosophie"
Ich hatte nur mal ein wenig reingelesen, empfand es aber als sehr gelungen.
Interessant empfinde ich übrigens die Frage, ob nun Mathematik Kultur oder Natur ist.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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>
> Zunächst: Vielleicht wäre es sinnvoll aus der Frage eine
> Umfrage zu machen!
>
>
> Ich habe Interesse mehr über die
> Philosophie der Mathematik
> zu erfahren.
>
> Laut Wikipedia gibt es drei Hauptbereiche:
>
> a) Seinsweise der mathematischen Objekte
> b) Ursprung des mathematischen Wissens
> c) Verhältnis von Mathematik und Realität
>
> Alle Bereiche finde ich interessant.
>
> Es gibt verschiedene Ansichten und damit verschiedene
> Theorien.
>
> 1. Welche Theorie sagt euch zu und warum?
> 2. Habt ihr eine Literaturempfehlung?
Hallo Acht,
geht zwar nicht ganz in die von Dir beschriebene Richtung, aber dennoch:
Jean Dieudonne: Mathematics - The Music Of Reason.
Gruß FRED
>
> Vielleicht sollte ich mich zunächst mit der Axiomatische
> Mengenlehre befassen?
>
>
> Viele Grüße
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 13.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred!
> geht zwar nicht ganz in die von Dir beschriebene Richtung,
> aber dennoch:
>
> Jean Dieudonne: Mathematics - The Music Of Reason.
Danke, das habe ich mir heute direkt ausgeliehen. 
Zitat: "Mathematics - The Music of Reason" is both a readable and entertaining book and a source of reference on milestones in the history of mathematics and the evolution of mathematical thought. It is permeated by the attitude that was already that of the ancient Greeks and is still nowadays the basic attraction of mathematics for mathematicians, namely that this subject is as much an art as a science, and the quest for knowledge is a quest for beaty in its purest form.
Hast du noch ähnliche Empfehlungen für "zwischendurch" (bzgl. Mathematik)?
Vor meinem Studiums hatte ich übrigens folgendes gelesen:
Ian Stewart - Letters to a young mathematician
Seitdem leider nur noch empfohlene Literatur zum jeweiligen Fach.
Eine kleine Recherche im Internet hat noch folgendes ergeben:
Christian Hesse - Warum Mathematik glücklich macht - 151 verblüffende Geschichten
Beste Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Di 13.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ladon!
Vielen Dank für deine zahlreichen Empfehlungen!
Beste Grüße
DieAcht
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Hallo,
> Vielleicht sollte ich mich zunächst mit der Axiomatische
> Mengenlehre befassen?
Axiomatische Mengenlehre ist ein spezielles Teilgebiet der Mathematik - wenn man etwas über das Wesen der Mathematik erfahren möchte, lohnt es sich also, über axiomatische Mengenlehre zu lesen. Denselben Zweck erfüllt aber jedes andere Teilgebiet.
Genauso ist axiomatische Mengelehre eine mögliche Art, die Mathematik zu fundieren - ob es die beste ist, darüber lässt sich trefflich streiten. Ich denke daher nicht, dass man unbedingt sehr viel über Mengenlehre wissen muss, um zu verstehen, wie Mathematik insgesamt funktioniert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Di 13.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo UniversellesObjekt!
> Axiomatische Mengenlehre ist ein spezielles Teilgebiet der
> Mathematik - wenn man etwas über das Wesen der Mathematik
> erfahren möchte, lohnt es sich also, über axiomatische
> Mengenlehre zu lesen. Denselben Zweck erfüllt aber jedes
> andere Teilgebiet.
Eine der Hauptfragen ist die Frage nach dem Ursprung (Quelle) des mathematischen Wissens.
Inwiefern gibt jedes andere Teilgebiet der Mathematik Antworten dazu?
> Genauso ist axiomatische Mengelehre eine mögliche Art, die
> Mathematik zu fundieren - ob es die beste ist, darüber
> lässt sich trefflich streiten. Ich denke daher nicht, dass
> man unbedingt sehr viel über Mengenlehre wissen muss, um
> zu verstehen, wie Mathematik insgesamt funktioniert.
(Ich weiß, dass du dich an der Mengenlehre von Gödel orientierst, bei dem auch so genannte Klassen existieren. Ich lese immer wieder gerne etwas weiter.  Ich melde mich noch, wenn ich Nachschub brauche! )
Meine Idee der "axiomatischen Mengenlehre" stammt eigentlich aus folgendem Zitat (Wikipedia):
"Die verbreitetste Axiomatisierung in der modernen Mathematik ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC)."
Beste Grüße
DieAcht
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> Hallo UniversellesObjekt!
>
>
> > Axiomatische Mengenlehre ist ein spezielles Teilgebiet der
> > Mathematik - wenn man etwas über das Wesen der Mathematik
> > erfahren möchte, lohnt es sich also, über axiomatische
> > Mengenlehre zu lesen. Denselben Zweck erfüllt aber jedes
> > andere Teilgebiet.
>
> Eine der Hauptfragen ist die Frage nach dem Ursprung
> (Quelle) des mathematischen Wissens.
>
> Inwiefern gibt jedes andere Teilgebiet der Mathematik
> Antworten dazu?
Eine besondere Stellung würde ich vielleicht der Theorie der natürlichen Zahlen, sowie der Geometrie der Ebene und des Raumes zusprechen, weil sie historisch an erster Stelle stehen. Wenn man "Erfindung eines neuen mathematischen Teilgebiets zur Klärung von Fragen eines bereits bekannten Teilgebiets" genügend häufig auf diese beiden Teilgebiete anwendet, erreicht man jedes andere mathematische Teilgebiet.
> > Genauso ist axiomatische Mengelehre eine mögliche Art, die
> > Mathematik zu fundieren - ob es die beste ist, darüber
> > lässt sich trefflich streiten. Ich denke daher nicht, dass
> > man unbedingt sehr viel über Mengenlehre wissen muss, um
> > zu verstehen, wie Mathematik insgesamt funktioniert.
>
> (Ich weiß, dass du dich an der Mengenlehre von Gödel
> orientierst, bei dem auch so genannte Klassen existieren.
> Ich lese immer wieder gerne etwas weiter. Ich melde
> mich noch, wenn ich Nachschub brauche! )
Wenn man unbedingt mit materialistischer Mengelehre arbeiten möchte, finde ich NBGetwas angenehmer als ZFC, weil man manche Aussagen etwas sorgloser aufschreiben darf und man gleichzeitig beweisen kann, dass beide Axiomensysteme dieseleben Sätze über Mengen beweisen.
Das heißt nicht, dass es nicht noch hunderte gleichberechtigte mengentheoretische Fundierungen (ETCS, SEAR, MK, ...) gäbe. Unter denen finde ich manche, namentlich die strukturalistischen, Mengenlehren besser geeignet zur Formalisierung der Mengenlehre (was nicht mit Mathematik gleichzusetzen ist), während ich ZFC völlig unbrauchbar finde.
Man kann aber auch Mathematik ohne Mengenlehre fundieren, etwa ET2CC, was versucht (eindimensionale) Kategorientheorie zu axiomatisieren und darauf Mathematik aufzubauen. Eine andere Bemühung, die jedoch noch lange nicht im Ziel ist, ist eine Elementare Theorie der [mm] $\infty$-Kategorie [/mm] aller [mm] $\infty$-Kategorien [/mm] hinzuschreiben. Ein Ansatz, in dem aktuell sehr viel Forschung stattfindet, in den viele Leute ihre Hoffnung stecken, ist die Homotopie-Typentheorie, allerdings kenne ich mich damit nicht aus.
> Meine Idee der "axiomatischen Mengenlehre" stammt
> eigentlich aus folgendem Zitat (Wikipedia):
>
> "Die verbreitetste Axiomatisierung in der modernen
> Mathematik ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit
> Auswahlaxiom (ZFC)."
Dieser Satz ist richtig. Er sagt jedoch erstens nicht, dass es auch sinnvoll ist, mittels ZFC die Mengenlehre zu axiomatisieren und zweitens nicht, dass eine Axiomatisierung der Mengenlehre viel mit Philosophie der Mathematik zu tun hat. Ich möchte beides erklären.
Was sollen überhaupt Axiome? Im Prinzip sind Axiome ziemlich willkürlich ausgesuchte Aussagen, die man benutzen möchte, um andere Aussagen zu beweisen. Dabei macht es jedoch Sinn, Aussagen als Axiome auszuwählen, die möglichst nah an der Intuition dessen sind, was man formalisieren möchte. Nun ist es einerseits so, dass ZFC einige Axiome beinhaltet, die mit Intuition über Mengen nichts zu tun hat, etwa das Fundierungsaxiom: Jede Menge $A$ enthält ein Element $B$ so, dass $A$ und $B$ disjunkt sind. Was hat das mit unserer Intuition über Mengen zu tun? Kannst du mir eine reelle Zahl [mm] $x\in\IR$ [/mm] nennen so, dass [mm] $x\cap\IR$ [/mm] leer ist? Was ist etwa [mm] $\pi\cap\IR$?
[/mm]
Dieser Zustand liegt natürlich daran, dass ZFC sich langsam entwickelt hat und immer wenn man ein Problem entdeckt hat, hat man ein Axiom hinzugefügt, um das entdeckte Problem zu lösen. Insgesamt ist ZFC aber eine höchst provisorische Lösung, die einfach nur deshalb verwendet wird, weil sie historisch an ersters Stelle stand und nicht, weil sie gut geeignet ist. Hinzu kommt auch, dass ZFC haufenweise Junk Theorems beweist.
Zweitens ist Philosophie der Mathematik doch die Frage "Was ist und was soll die Mathematik?". Was hat Mengenlehre unbedingt mit dieser Frage zu tun, mehr als homologische Algebra? Mengenlehre ist ein Teilgebiet und liefert manche Sätze - Lemma von Zorn, Kardinalzahlarithmetik,...) die man in anderen Gebieten gut gebrauchen kann, um Fragen in diesen Gebieten zu klären. Das war der Sinn und Zweck der Erfindung dieser Theorie durch Cantor, Probleme aus der Analysis zu lösen, die er hatte und dasselbe tut homologische Algebra. Wenn jemand wissen möchte, was Mathematik ist und was sie soll, soll er Mengenlehre, homologische Algebra, Zahlentheorie, Graphentheorie, Kategorientheorie oder Funktionalanalysis lernen - das sind alles gleich große Teile dessen, was wir Mathematik nennen.
Fragen, die zusätzlich interessant sind, sind natürlich die, ob und wenn ja was die Mathematik mit der Realität zu tun hat. Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Gleichung $3+4=7$, die man beweisen kann und der Erfahrung, dass ich 7 Äpfel habe, wenn ich zu 3 Äpfeln 4 hinzunehme. Oder was hat es damit auf sich, dass die Einheitskugel ein Maß von [mm] $4/3\cdot\pi$ [/mm] hat und etwa $4/2$ Liter Wasser in eine Kugel mit Radius 1 passen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Wenn man eine schöne Einführung in strukturelle Mengenlehre sucht, ist Sets for Mathematics von Lawvere (dem Erfinder von ETCS und Vorreiter der Topos-Theorie) ein tolles Büchlein.
> Beste Grüße
> DieAcht
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> > Wenn man unbedingt mit
> >
> materialistischer Mengelehre
> > arbeiten möchte, ........ ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> materialistische Mengenlehre ??
>
> Das ist wohl eine ziemlich verfehlte Übersetzung von
> "material set theory" ...
Das mag sein welche Übersetzung schlägst du vor? Strukturelle Mengenlehre versucht ja, die Struktur der Gesamtheit der Mengen zu beschreiben, während material set theory versucht, Mengen ausschließlich durch die Elemente, die sie enthalten, zu charakterisieren.
In dieser E-Mail, welche das erste Auftauchen dieser Bezeichnung zu sein scheint, heißt es übrigens "materialistic".
> > Oder was
> > hat es damit auf sich, dass die Einheitskugel ein Maß von
> > [mm]4/3\cdot\pi[/mm] hat und etwa [mm]4/2[/mm] Liter Wasser in eine Kugel mit
> > Radius 1 passen?
>
>
> ... und da ist auch noch was ein bisschen daneben getropft
> ...
Das sollte wohl 4 Komma 2 heißen :D
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> LG , Al
>
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> > materialistische Mengenlehre ??
> >
> > Das ist wohl eine ziemlich verfehlte Übersetzung von
> > "material set theory" ...
>
> Das mag sein welche Übersetzung schlägst du vor?
> Strukturelle Mengenlehre versucht ja, die Struktur der
> Gesamtheit der Mengen zu beschreiben, während material set
> theory versucht, Mengen ausschließlich durch die Elemente,
> die sie enthalten, zu charakterisieren.
Ich kannte den Begriff bisher gar nicht und kann vielleicht nicht
ganz fundiert antworten. Man müsste also vielleicht einen (deutsch-
sprachigen) Mengentheoretiker fragen.
Ich meine aber, dass man doch z.B. von einer "elementbasierten"
Mengenlehre sprechen könnte. Das Wort "materialistisch" ist einfach
zu sehr von der Philosophie her "vorbelastet". Vielleicht könnte
man "materielle Mengenlehre" oder (noch besser) "materiale Mengenlehre"
sagen ...
>
> In
> dieser
> E-Mail, welche das erste Auftauchen dieser Bezeichnung zu
> sein scheint, heißt es übrigens "materialistic".
Er beschreibt das etwas näher, nämlich so:
"First of all, set theory is unabashedly materialistic - a perhaps
nonstandard word I use to describe the opposite of structuralistic."
I should like to add: yes, nonstandard, and maybe not really fitting ...
(denn auch im Englischen ist "materialistic" deutlich philosophisch
konnotiert).
> > > Oder was
> > > hat es damit auf sich, dass die Einheitskugel ein Maß von
> > > [mm]4/3\cdot\pi[/mm] hat und etwa [mm]4/2[/mm] Liter Wasser in eine Kugel mit
> > > Radius 1 passen?
> >
> >
> > ... und da ist auch noch was ein bisschen daneben getropft
> > ...
>
> Das sollte wohl 4 Komma 2 heißen :D
Ach ja, so passt es natürlich prima.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Fr 16.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Vielen Dank für deine kleine Einführung!
Die Topologie scheint ein sehr großes Teilgebiet der Mathematik zu sein.
Eine Kleinigkeit:
> Wenn man "Erfindung eines neuen mathematischen
> Teilgebiets zur Klärung von Fragen eines bereits bekannten
> Teilgebiets" genügend häufig auf diese beiden Teilgebiete
> anwendet, erreicht man jedes andere mathematische
> Teilgebiet.
Erfindung oder Entdeckung?
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Natürlich habe ich hier schon heimlich meine Meinung zu dieser Frage untergejubelt. Ich denke, dass Mathematik erfunden wird. Das macht für mich gerade den Reiz gegenüber "Wissenschaften" aus, in denen Wissen gefunden wird. Eine Wissenschaft ist immer die Wissenschaft eines Gegenstandes, der schon existiert hat, bevor die Wissenschaft existiert hat. Das gilt für Naturwissenschaften ebenso wie für Literaturwissenschaft oder Ähnliches. Mathematik gab es hingegen nicht, bevor es den ersten Mathematiker gab.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:49 Do 15.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> > Vielleicht sollte ich mich zunächst mit der Axiomatische
> > Mengenlehre befassen?
>
> Axiomatische Mengenlehre ist ein spezielles Teilgebiet der
> Mathematik - wenn man etwas über das Wesen der Mathematik
> erfahren möchte, lohnt es sich also, über axiomatische
> Mengenlehre zu lesen. Denselben Zweck erfüllt aber jedes
> andere Teilgebiet.
Axiomatische Mengenlehre ist aus meiner Sicht nicht ganz vergleichbar mit vielen anderen Teilgebieten der Mathematik: Für set theorists ist Schlussfolgern innerhalb von Axiomensystemen der Mengenlehre heute eher ein Randthema. Viel mehr beschäftigen sie sich mit Modellen von Axiomensystemen und (relativen) Konsistenz-Aussagen für Axiomensysteme (und damit so Aussagen wie: "Wenn ZFC konsistent ist, ist die Kontinuumshypothese unabhängig von ZFC."). Aus Sicht von set theorists behandeln sie neben mathematischen Inhalten "meta-mathematische Aussagen und Fragestellungen". Wohl in keinem anderen Teilgebiet der Mathematik drängen sich philosophische Fragen so sehr auf wie in der Mengenlehre.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Sehr zu empfehlen:
Hermann Weyl: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 14.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DieAcht!
Leider habe ich wenig Hintergrundwissen zur Philosophie der Mathematik.
Dennoch möchte ich nach Studium des Wikipedia-Artikels meinen Senf zu folgender Frage geben:
> 1. Welche Theorie sagt euch zu und warum?
Meine Sichtweise der Mathematik ist anscheinend eine Mischung aus Realismus und Formalismus: Realismus beim Konzept der natürlichen Zahlen, Formalismus bei "höheren Konzepten" wie reellen Zahlen oder Mengenlehre.
Fangen wir als Beispiel mit der Mengenlehre (z.B. in Form von ZFC) an:
Die Annahme der Existenz von Mengen-Universen halten viele set theorists (wie lautet das deutsche Wort dafür?) für selbstverständlich, ich keineswegs.
a) Wir wissen bei der üblichen Mengenlehre ZFC nicht einmal, ob sie konsistent ist, was ich als notwendig für die sinnvolle Annahme der "Existenz" eines ZFC-Mengen-Universums jenseits des menschlichen Denkens ansehe.
b) Selbst wenn ZFC konsistent ist, bin ich nicht sicher, ob es sinnvoll ist, die "Existenz" eines ZFC-Mengen-Universums anzunehmen:
Zwar besagt der Gödelsche Vollständigkeitssatz grob gesagt, dass innerhalb eines jeden Mengen-Universums jede konsistente Formelmenge ein Modell besitzt.
Aber solange wir eben noch kein Mengen-Universum haben, nützt das nicht wirklich.
c) Selbst wenn es in irgendeinem Sinne sinnvoll sein sollte, von der Existenz von ZFC-Mengen-Universen jenseits des menschlichen Denkens auszugehen, so sehe ich keinen Hinweis auf ein ausgezeichnetes (kanonisches) ZFC-Mengen-Universum.
Daher bevorzuge ich im Rahmen der Mengenlehre die vorsichtigere Sichtweise des Formalismus:
Wir spielen ein Spiel mit gewissen Spielregeln.
Wer die Spielregeln versteht und akzeptiert, kann sich objektiv davon überzeugen, dass gemäß der Spielregeln ZFC gewisse Sätze impliziert.
Nun zu den natürlichen Zahlen:
Im Gegensatz zu Mengen-Universen meine ich eine konkrete Vorstellung von der Gesamtheit der natürlichen Zahlen, wie wir sie in der Grundschule kennengelernt haben, zu besitzen: 0,1,2,3 usw. "und nichts darüber hinaus".
Diese Beschreibung ist sehr unpräzise und ich kann nicht präzise erklären, was ich mit "den natürlichen Zahlen" meine, dennoch bin ich davon überzeugt, dass wir alle eine Vorstellung davon haben und es sinnvoll ist, die natürlichen Zahlen als existent anzunehmen.
Insbesondere gehe ich davon aus, dass es in geeignet gewählten Sprachen wie z.B. der der Peano-Arithmetik einen einzigen objektiven Wahrheitswert jedes Satzes gibt, der angibt, ob dieser Satz auf die gewöhnlichen natürlichen Zahlen zutrifft oder nicht.
Das ist in der Mengenlehre ganz anders: Viele Sätze stellen wir uns "je nach Mengen-Universum" als wahr oder falsch vor.
Natürlich sind auch Peano-Arithmetik-Sätze je nach "Peano-Arithmetik-Struktur" als wahr oder falsch anzusehen, aber: Nach meiner Überzeugung gibt es die (bis auf "ordnungserhaltende Isomorphie") eindeutigen natürlichen Zahlen, bezüglich derer objektive Wahrheitswerte existieren, auch wenn die meisten wohl nie von Menschen entdeckt werden werden.
(Auch die Aussage "ZFC ist konsistent" könnte in manchen Mengen-Universen wahr und in manchen falsch sein.
Erst im Sinne der gewöhnlichen natürlichen Zahlen hat die Aussage "ZFC ist konsistent" einen eindeutigen Wahrheitswert.)
Unbedingt zu beachten ist, dass meine Annahme eindeutiger natürlicher Zahlen unabhängig von Sätzen wie "Es gibt bis auf Isomorphie genau ein Objekt, dass den Peano-Axiomen genügt." ist. Der gilt auch in Mengen-Universen, in denen die Menge [mm] $\omega$ [/mm] (aus meiner Sicht fälschlicherweise häufig als Menge der natürlichen Zahlen angesehen) zwar den Peano-Axiomen genügt, aber durchaus (im intuitiven Sinne) Nichtstandard-Zahlen (also Zahlen, die größer als jede gewöhnliche natürliche Zahl sind) enthalten kann.
(Selbst wenn es ein Mengen-Universum "gibt", heißt das noch lange nicht, dass es eines gibt, in denen [mm] $\omega$ [/mm] keine Nichtstandardzahlen enthält.
Aber man kann sich überlegen, dass es im Falle der "Existenz" eines Mengen-Universums auch eines geben muss, in dem durchaus [mm] $\omega$ [/mm] Nichtstandardzahlen enthält.)
Mein Fazit: Mathematik kann sowohl Studium von Objekten sein, deren Existenz jenseits des menschlichen Denkens sinnvoll angenommen werden kann (Realismus), als auch Spiel mit festen Spielregeln (Formalismus).
Viele Grüße
Tobias
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> dennoch bin ich davon überzeugt, dass wir alle eine
> Vorstellung davon haben und es sinnvoll ist, die
> natürlichen Zahlen als existent anzunehmen.
Hallo,
bist du dir da sicher? Oder liegt das vielleicht nur daran, dass wir die natürlichen Zahlen etwas früher (Grundschule und meistens schon davor) kennenlernen, als andere Strukturen und sie deshalb besser gewöhnt sind? Siehe etwa hier.
Ansonsten teile ich aber deine Gedanken, abgesehen davon, dass deine Antwort Mathematik=ZFC suggeriert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:22 Do 15.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt,
herzlichen Dank für deine Anmerkungen.
> > dennoch bin ich davon überzeugt, dass wir alle eine
> > Vorstellung davon haben und es sinnvoll ist, die
> > natürlichen Zahlen als existent anzunehmen.
>
> Hallo,
>
> bist du dir da sicher? Oder liegt das vielleicht nur daran,
> dass wir die natürlichen Zahlen etwas früher (Grundschule
> und meistens schon davor) kennenlernen, als andere
> Strukturen und sie deshalb besser gewöhnt sind? Siehe etwa
> hier.
Mit "wir alle" meinte ich die von mir angenommenen Leser meines Beitrags, nicht alle Menschen...
Letztlich unabhängig davon, wer wie viel Vorstellung von den natürlichen Zahlen hat, bin ich aufgrund meiner Vorstellung überzeugt, dass es sinnvoll ist, ihnen eine bis auf eindeutige Ordnungsisomorphie eindeutige Existenz zuzuschreiben.
(Ich meine hier nicht den üblichen Ordnungsisomorphie-Begriff innerhalb eines Mengen-Universums, sondern einen "globalen" Ordnungsisomorphie-Begriff. Einen solchen "gibt" es anscheinend im Allgemeinen gar nicht, aber nach meiner Überzeugung ist die Annahme eines solchen für den Spezialfall der gewöhnlichen natürlichen Zahlen sinnvoll.)
Gleiches gilt aus meiner Sicht für die rationalen Zahlen als Erweiterung der gewöhnlichen natürlichen Zahlen.
Aber: Schon für die reellen Zahlen gilt dies offenbar nicht mehr!
Um die reellen Zahlen einzuführen, benötigen wir ein Konzept wie "Gesamtheit der Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen" oder die "Gesamtheit aller Funktionen [mm] $f\colon\IN\to\IN$".
[/mm]
Und während ich von einer "absoluten" Existenz der Gesamtheit der gewöhnlichen natürlichen Zahlen ausgehe, erscheint mir keine absolute/kanonische Wahl der gerade genannten Teilmengen- bzw. Funktionen-Gesamtheiten gegeben.
> Ansonsten teile ich aber deine Gedanken,
Ich habe mit mehr Kritik gerechnet...
Ich habe den Eindruck, viele set theorists sind stärker überzeugt von der Existenz ihres angenommen Mengen-Universums ohne Nichtstandardzahlen in [mm] $\omega$, [/mm] als von der Existenz einer absoluten Wahrheit/Falschheit arithmetischer Formeln für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen (bei Interesse siehe hier).
> abgesehen davon,
> dass deine Antwort Mathematik=ZFC suggeriert.
Das war nicht meine Absicht.
Wenn wir Mathematik im Sinne des Realismus als Untersuchung unter anderem der gewöhnlichen natürlichen Zahlen ansehen, ist ZFC möglicherweise denkbar ungeeignet, da überhaupt nicht klar ist, dass wir die gewöhnlichen natürlichen Zahlen in einem geeigneten Mengen-Universum zur Verfügung haben [mm] ($\omega$ [/mm] könnte in jedem Mengen-Universum Nicht-Standardzahlen enthalten).
Ich weiß, dass du eine andere Grundlegung der Mathematik als ZFC bevorzugst. Wenn du willst, ersetze überall "Mengen-Universum" durch "Strukturen-Universum" oder "Kategorien-Universum" oder ... (passend zum von dir favorisierten Axiomensystem).
Die natürliche-Zahlen-Problematik bleibt wohl die gleiche: In einem solchen Universum gibt es zwar wohl ein NaturalNumbersObject, aber das heißt noch lange nicht, dass dieses keine Nichtstandardzahlen enthält.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Fr 16.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Tobias!
Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Meinung!
(Ich musste zwar vieles nachschlagen, aber deine Idee habe ich verstanden. )
Beste Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Fr 16.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch etwas aus meinem Bücherregal (hatte ich ganz vergessen):
Reuben Hersh, Philip Davis: The mathematical experience.
(Gibts auch auf deutsch)
FRED
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