Perspektivität am Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei ein Dreieck mit den Ecken
p = (1 : u : u'), q = (v' : 1 : v), r = (w : w' : 1) ,
wobei u, u', v, v',w,w' sämtlich von 0 verschieden seien.
Zeigen Sie, dass das Dreieck pqr genau dann perspektiv zum Koordinatendreieck abc mit
a = (1 : 0 : 0), b = (0 : 1 : 0) und c = (0 : 0 : 1) ist, wenn uvw = u'v'w' gilt. |
Hallo,
ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Für mich ist die Lösung nur "ersichtlich", weil das Koordinatendreieck die Koords
a = (1 : 0 : 0), b = (0 : 1 : 0) und c = (0 : 0 : 1)
besitzt und dementsprechend müsste ja auch das Dreieck pqr an den Stellen, wo die Nullen sind, Vielfache von Null haben (?)
Oder stehe ich ganz am Schlauch ?
liebe Grüße
|
|
| |
|
Denke dir die baryzentrischen Koordinaten in Form von Spaltenvektoren geschrieben. Wenn es einen Punkt [mm]Z[/mm] gibt, so daß [mm]A,P,Z[/mm] sowie [mm]B,Q,Z[/mm] sowie [mm]C,R,Z[/mm] jeweils auf einer Geraden liegen, dann gilt
[mm]\begin{vmatrix} A & P & Z \end{vmatrix} = 0 \, , \ \ \begin{vmatrix} B & Q & Z \end{vmatrix} = 0 \, , \ \ \begin{vmatrix} C & R & Z \end{vmatrix} = 0[/mm]
Die senkrechten Striche bezeichnen die Determinante. Aus diesen drei Gleichungen lassen sich die Koordinaten von [mm]Z[/mm] eliminieren, so daß nur noch eine Beziehung zwischen [mm]u,v,w,u',v',w'[/mm] übrig bleibt.
|
|
|
|
