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Permutation und sgn: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Mo 21.05.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Ich betrachte mal die Permutation [mm] \pi=(1423). [/mm]
Bestimmt [mm] sgn(\pi) [/mm]

Hallo und eine erfolgreiche neue Woche,

so mal etwas gesammelt und gefunden:

[mm] sign(\pi)=+1 \gdw [/mm] Anzahl der Fehlstände ist gerade oder [mm] \pi [/mm] lässt sich als "Produkt" einer geraden Anzahl an Transpositionen schreiben.


[mm] sign(\pi)=-1 \gdw [/mm] Anzahl der Fehlstände ist ungerade oder [mm] \pi [/mm] lässt sich als "Produkt" einer ungeraden Anzahl an Transpositionen schreiben.


So und dann mal mein Bsp. untersucht:

1. Möglichkeit:
(1234) [mm] \rightarrow [/mm] (1243) [mm] \rightarrow [/mm] (1423) [mm] \Rightarrow [/mm] zwei Transpositionen, also [mm] sgn(\pi)=+1 [/mm]

2. Möglichkeit: Fehlstand: i<j und [mm] \pi(i)>\pi(j) [/mm]
2<3 und 4>2
2<4 und 4>3
also zwei Fehlstände, also [mm] sgn(\pi)=+1 [/mm]

Habe ich das richtig gemacht?


        
Bezug
Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,

> Ich betrachte mal die Permutation [mm]\pi=(1423).[/mm]
>  Bestimmt [mm]sgn(\pi)[/mm]
>  Hallo und eine erfolgreiche neue Woche,
>  
> so mal etwas gesammelt und gefunden:
>  
> [mm]sign(\pi)=+1 \gdw[/mm] Anzahl der Fehlstände ist gerade oder
> [mm]\pi[/mm] lässt sich als "Produkt" einer geraden Anzahl an
> Transpositionen schreiben.
>  
>
> [mm]sign(\pi)=-1 \gdw[/mm] Anzahl der Fehlstände ist ungerade oder
> [mm]\pi[/mm] lässt sich als "Produkt" einer ungeraden Anzahl an
> Transpositionen schreiben.
>  
>
> So und dann mal mein Bsp. untersucht:
>  
> 1. Möglichkeit:
>  (1234) [mm]\rightarrow[/mm] (1243) [mm]\rightarrow[/mm] (1423) [mm]\Rightarrow[/mm]
> zwei Transpositionen, also [mm]sgn(\pi)=+1[/mm]
>  
> 2. Möglichkeit: Fehlstand: i<j und [mm]\pi(i)>\pi(j)[/mm]
>  2<3 und 4>2
>  2<4 und 4>3
>  also zwei Fehlstände, also [mm]sgn(\pi)=+1[/mm]
>  
> Habe ich das richtig gemacht?
>  


Ja.[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Permutation und sgn: konkrete Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mo 21.05.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Permuttationen in [mm] S_{5} [/mm]

[mm] \rho=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 2&3&4&1&5 } [/mm]    

[mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&5&4&2&1 } [/mm]    

[mm] \tau=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&2&5&4&1 } [/mm]    

Berechne:
sgn( [mm] \rho [/mm] )        
[mm] sgn(\sigma) [/mm]        
[mm] sgn(\tau) [/mm]        
[mm] sgn(\rho \circ \sigma) [/mm]      
[mm] sgn(\rho \circ \tau) [/mm]            
[mm] sgn(\rho \circ \rho) [/mm]          
[mm] sgn(\sigma \circ \rho) [/mm]      
[mm] sgn(\rho^{-1}) [/mm]        
[mm] sgn(\tau \circ \rho \circ \tau^{-1}) [/mm]        
[mm] sgn(\rho \circ \rho \circ \rho) [/mm]


Kaum mal ne Aufgabe dazu und schon wird's problematisch...

So dann habe ich mal eine Frage zu [mm] sgn(\tau): [/mm]

Fehlstände:

1<5 & 3>1
2<5 & 2>1
3<5 & 5>1
4<5 & 4>1
3<4 & 5>4
1<2 & 3>2

also sechs Fehlstände [mm] \Rightarrow sgn(\tau)=+1 [/mm]

Richtig?

Und wie würde ich das dann mit Transpositionen lösen?
(12345) [mm] \rightarrow [/mm] (15342) [mm] \rightarrow [/mm] (13542) [mm] \rightarrow [/mm] ????

Bezug
                        
Bezug
Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,


> Permuttationen in [mm]S_{5}[/mm]
>  
> [mm]\rho=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 2&3&4&1&5 }[/mm]    
>
> [mm]\tau=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&5&4&2&1 }[/mm]    
>
> [mm]\sigma=\pmat{ 1 & 2 &3 & 4 &5 \\ 3&2&5&4&1 }[/mm]    
>
> Berechne:
> sgn( [mm]\rho[/mm] )        
> [mm]sgn(\sigma)[/mm]        
> [mm]sgn(\tau)[/mm]        
> [mm]sgn(\rho \circ \sigma)[/mm]      
> [mm]sgn(\rho \circ \tau)[/mm]            
> [mm]sgn(\rho \circ \rho)[/mm]          
> [mm]sgn(\sigma \circ \rho)[/mm]      
> [mm]sgn(\rho^{-1})[/mm]        
> [mm]sgn(\tau \circ \rho \circ \tau^{-1})[/mm]        
> [mm]sgn(\rho \circ \rho \circ \rho)[/mm]
>  Kaum mal ne Aufgabe dazu
> und schon wird's problematisch...
>  
> So dann habe ich mal eine Frage zu [mm]sgn(\tau):[/mm]
>  
> Fehlstände:
>  
> 1<5 & 3>1
>  2<5 & 2>1
>  3<5 & 5>1
>  4<5 & 4>1
>  3<4 & 5>4
>  1<2 & 3>2
>  
> also sechs Fehlstände [mm]\Rightarrow sgn(\tau)=+1[/mm]
>  
> Richtig?

>


Es stimmt, daß es eine gerade Anzahl Fehlstände gibt,
aber nicht 6.

  

> Und wie würde ich das dann mit Transpositionen lösen?
> (12345) [mm]\rightarrow[/mm] (15342) [mm]\rightarrow[/mm] (13542) [mm]\rightarrow[/mm]
> ????


Es gilt für [mm]\rho, \ \sigma \in S_{5}[/mm]:

[mm]sgn(\rho \circ \sigma)=sgn(\rho)*sgn(\sigma)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Permutation und sgn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Mo 21.05.2012
Autor: Big_Head78

Ich hatte im Aufgabentext leider [mm] \tau [/mm] und [mm] \sigma [/mm] vertauscht...habe ich jetzt aber korrigiert. Stimmt meine Lösung denn dann?

Und wie komme ich bei [mm] sgn(\tau) [/mm] über Transpositionen zur Lösung.

Danke für den Hinweis zu [mm] sgn(\rho \circ \tau)= sgn(\rho) [/mm] * [mm] sgn(\tau). [/mm] :)

Bezug
                                        
Bezug
Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,

> Ich hatte im Aufgabentext leider [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> vertauscht...habe ich jetzt aber korrigiert. Stimmt meine
> Lösung denn dann?

>


Es stimmt, daß es sich um eine gerade Permutation handelt.

  

> Und wie komme ich bei [mm]sgn(\tau)[/mm] über Transpositionen zur
> Lösung.
>  
> Danke für den Hinweis zu [mm]sgn(\rho \circ \tau)= sgn(\rho)[/mm] *
> [mm]sgn(\tau).[/mm] :)


Gruss
MathePower

Bezug
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