Permutation und Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 5Spieler laufen in eine dunkle Kabine. Jedem gehört ein Trikot.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) keiner der 5Spieler sein richtiges Trikot überstreift.
b) genau k Spieler (k=1,..,5) ihr richtiges Trikot überstreifen.
Berechne für n [mm] \in \IN [/mm] E[X]. |
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Hallo!
Könnte das bitte jemand Korrektur lesen und mir beim Erwartungswert weiterhelfen?
n Elemente, n! Permuationen.
Davon sind [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k!} [/mm] fixpunktfrei.
zu a)
[mm] \bruch{n! * \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k!}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k!}
[/mm]
[mm] P_0 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{5} \bruch{(-1)^k}{k!} [/mm] = 11/30
zu b)
genau k Fixpunkte:
[mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{n-k} \bruch{(-1)^i}{i!}
[/mm]
für k=5: [mm] P_5=\bruch{1}{120}
[/mm]
für k=4: [mm] P_4=0
[/mm]
für k=3: [mm] P_3=\bruch{1}{12}
[/mm]
für k=2: [mm] P_2=\bruch{1}{6}
[/mm]
für k=1: [mm] P_1=\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] P_{gesamt}=P_0+P_1+P_2+P_3+P_4+P_5=1
[/mm]
Berechne für n [mm] \in \IN [/mm] E[X].
Wie mache ich das?
Ist es so richtig?
[mm] E[X]=\bruch{11}{30}*0+\bruch{3}{8}*1+\bruch{1}{6}*2+\bruch{1}{12}*3+0*4+\bruch{1}{120}*5=1
[/mm]
Varianz (ist zwar nicht gefragt) wäre dann so?
[mm] V[X]=\bruch{11}{30}*0^2+\bruch{3}{8}*1^2+\bruch{1}{6}*2^2+\bruch{1}{12}*3^2+0*4^2+\bruch{1}{120}*5^2-1^2=1
[/mm]
Vielen Dank!
Phillip
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 09.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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