Permutation einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | p = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1}
[/mm]
q = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2}
[/mm]
Bestimmen sie das Signum von p und q! |
Ich hab jetzt schon oft gelesen, dass es sich beim signum um die Fehlstände in der Permutation handelt und das signum entweder 1 oder -1 ist...
ich weiß nur nicht recht, wie ich das aufschreiben soll...
wäre für p folgendes ok?:
Fehlstände: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (2,4), (3,4), (4,2), (5,2), (1,2), (5,1)
--> 10 Stück...
sign(p) = (-1)^10 = 1
oder kürzen sich besipielsweise bei 2 gleichen Paaren wie (2,5) und (5,2) eines raus... sodass in meinem beispiel noch 8 existieren?
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Hallo
> p = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1}[/mm]
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> q = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2}[/mm]
>
> Bestimmen sie das Signum von p und q!
> Ich hab jetzt schon oft gelesen, dass es sich beim signum
> um die Fehlstände in der Permutation handelt und das
> signum entweder 1 oder -1 ist...
>
> ich weiß nur nicht recht, wie ich das aufschreiben
> soll...
>
> wäre für p folgendes ok?:
>
> Fehlstände: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (2,4), (3,4),
> (4,2), (5,2), (1,2), (5,1)
> --> 10 Stück...
>
> sign(p) = (-1)^10 = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> oder kürzen sich besipielsweise bei 2 gleichen Paaren wie
> (2,5) und (5,2) eines raus... sodass in meinem beispiel
> noch 8 existieren?
>
>
Ne ne.. da kürzt sich nix.. Allerdings ist mir n bisschen rätselhaft waste da machst ^^
- Die 1, 2, 3 und 4 sind nach der 5 [mm] \rightarrow [/mm] 4 Fehlstände
- Die 1, 2 und 3 sind nach der 4 [mm] \rightarrow [/mm] 3 Fehlstände
- Die 1 und 2 sind nach der 3 [mm] \rightarrow [/mm] 2 Fehlstände
- Die 1 ist nach der 2 [mm] \rightarrow [/mm] 1 Fehlstand
Macht zusammen 10 Fehlstände :)
Mach mal q, solltest du ja hinkriegen :)
Grüsse, Amaro
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für q komme ich auf:
signum(q) = [mm] (-1)^9 [/mm] = -1
ist das korrekt? ...
PS...ich sortiere, wo die zahl ursprünglich hin müsste, um einen fehlstand zu beseitigen.... wenn ich das aber so mache wie du, musste q ja auch 10 sein !?
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Hey
> für q komme ich auf:
> signum(q) = [mm](-1)^9[/mm] = -1
>
> ist das korrekt? ...
Halb... sgn(q) = -1 stimmt.. aber die Anzahl Fehlstände ist 7, nicht 9.
>
>
> PS...ich sortiere, wo die zahl ursprünglich hin müsste,
> um einen fehlstand zu beseitigen.... wenn ich das aber so
> mache wie du, musste q ja auch 10 sein !?
Ne, es war nur ein unglückliches Beispiel...
Ich schaue mir immer eine Stelle an (z.B die erste) und schaue dann, wieviele Elemente nach dieser Stelle KLEINER sind als die betrachtete Stelle... z.B bei q haste ja an der ersten Stelle ne 3 stehen., die 4 und die 5 sind grösser, also sind die ok.. aber dann kommen erst die 1 und die 2, und diese sind kleiner, also haste 2 Fehlstände...
So gehe ich jede Stelle durch. Schliesslich kommste auf 7..
(Ich will damit nicht sagen, man kann es nur so machen.. aber ich finde es so sehr einfach :) )
Versuchs mal:
s = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 2}
[/mm]
sgn(s) = ?
# Fehlstände = ?
Grüsse, Amaro
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> Hey
>
> > für q komme ich auf:
> > signum(q) = [mm](-1)^9[/mm] = -1
> >
> > ist das korrekt? ...
>
> Halb... sgn(q) = -1 stimmt.. aber die Anzahl Fehlstände
> ist 7, nicht 9.
>
> >
> >
> > PS...ich sortiere, wo die zahl ursprünglich hin müsste,
> > um einen fehlstand zu beseitigen.... wenn ich das aber so
> > mache wie du, musste q ja auch 10 sein !?
>
> Ne, es war nur ein unglückliches Beispiel...
>
> Ich schaue mir immer eine Stelle an (z.B die erste) und
> schaue dann, wieviele Elemente nach dieser Stelle KLEINER
> sind als die betrachtete Stelle... z.B bei q haste ja an
> der ersten Stelle ne 3 stehen., die 4 und die 5 sind
> grösser, also sind die ok.. aber dann kommen erst die 1
> und die 2, und diese sind kleiner, also haste 2
> Fehlstände...
> So gehe ich jede Stelle durch. Schliesslich kommste auf
> 7..
gut, dass habe ich kapiert...ich hoffe nur, du bist dir 100ig sicher...schreib morgen ne total wichtige klausur und das kommt bestimmt dran...
>
> (Ich will damit nicht sagen, man kann es nur so machen..
> aber ich finde es so sehr einfach :) )
>
> Versuchs mal:
>
>
> s = [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 2}[/mm]
sgn(s) = [mm] (-1)^6 [/mm] = 1
# Fehlstände = 6
>
> Grüsse, Amaro
LG Biene
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> > Hey
> >
> > > für q komme ich auf:
> > > signum(q) = [mm](-1)^9[/mm] = -1
> > >
> > > ist das korrekt? ...
> >
> > Halb... sgn(q) = -1 stimmt.. aber die Anzahl Fehlstände
> > ist 7, nicht 9.
> >
> > >
> > >
> > > PS...ich sortiere, wo die zahl ursprünglich hin müsste,
> > > um einen fehlstand zu beseitigen.... wenn ich das aber so
> > > mache wie du, musste q ja auch 10 sein !?
> >
> > Ne, es war nur ein unglückliches Beispiel...
> >
> > Ich schaue mir immer eine Stelle an (z.B die erste) und
> > schaue dann, wieviele Elemente nach dieser Stelle KLEINER
> > sind als die betrachtete Stelle... z.B bei q haste ja an
> > der ersten Stelle ne 3 stehen., die 4 und die 5 sind
> > grösser, also sind die ok.. aber dann kommen erst die 1
> > und die 2, und diese sind kleiner, also haste 2
> > Fehlstände...
> > So gehe ich jede Stelle durch. Schliesslich kommste auf
> > 7..
>
> gut, dass habe ich kapiert...ich hoffe nur, du bist dir
> 100ig sicher...schreib morgen ne total wichtige klausur und
> das kommt bestimmt dran...
Ich bin mir 100%ig sicher, dass er sich da 100%ig sicher ist. 
Das ist die einfachste Vorgehensweise.
> >
> > (Ich will damit nicht sagen, man kann es nur so machen..
> > aber ich finde es so sehr einfach :) )
> >
> > Versuchs mal:
> >
> >
> > s = [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 2}[/mm]
>
> sgn(s) = [mm](-1)^6[/mm] = 1
> # Fehlstände = 6
Absolut korrekt. Ausgehend von der 1 hast du 3 Fehlstände (2,3,5), ausgehend von der 2 noch 2 Fehlstände (3,5) und ausgehend von der 4 noch 1 Fehlstand (5).
Einfach von links nach rechts drüber laufen und für jede Stelle durchzählen. Sollte immer klappen.
> >
> > Grüsse, Amaro
>
> LG Biene
Viel Glück bei deiner Klausur und schöne Grüße,
Tobias
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dann bin ich ja beruhigt  ...dankeschön...
die aufgabe geht jedoch auch weiter... und zwar soll ich alle potenzen
[mm] p^k [/mm] und [mm] q^k [/mm] berechnen und zeigen , dass die Mengen aller dieser Potenzen bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppen bilden...
zur Erinnerung:
p = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1}
[/mm]
q = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2}
[/mm]
zu [mm] p^k:
[/mm]
da existiert [mm] p^1 [/mm] und [mm] p^2 [/mm] = I
zu [mm] q^k:
[/mm]
da existiert [mm] q^1, q^2, q^3, q^4, q^5, q^6 [/mm] = I
wenn ich das jetzt in Mengen angebe:
[mm] M_P_q [/mm] = {I, q, [mm] q^2, q^3, q^4, q^5, q^6 [/mm] }
korrekt? oder lasse ich [mm] p^6 [/mm] = I aus der Menge raus?
[mm] M_P_p [/mm] = {I, p, [mm] p^2 [/mm] }
korrekt? oder lasse ich [mm] p^2 [/mm] = I aus der Menge raus?
jetzt habe ich angefangen 2 Gruppentafeln für p und q aufzustellen
oder kommt das in eine Tafel?
wie zeige ich denn überhaupt, dass die Mengen aller dieser Potenzen bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppen bilden?
LG Biene
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mi 31.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
kann mir keiner weiterhelfen...ist echt wichtig...
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Hallo
> dann bin ich ja beruhigt ...dankeschön...
>
> die aufgabe geht jedoch auch weiter... und zwar soll ich
> alle potenzen
> [mm]p^k[/mm] und [mm]q^k[/mm] berechnen und zeigen , dass die Mengen aller
> dieser Potenzen bezüglich der Hintereinanderausführung
> Gruppen bilden...
>
> zur Erinnerung:
>
> p = [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1}[/mm]
>
> q = [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2}[/mm]
>
>
> zu [mm]p^k:[/mm]
>
> da existiert [mm]p^1[/mm] und [mm]p^2[/mm] = I
>
> zu [mm]q^k:[/mm]
>
> da existiert [mm]q^1, q^2, q^3, q^4, q^5, q^6[/mm] = I
>
Das sollte soweit stimmen.. hast du es ausgerechnet oder hergeleitet? Du kannst hier nämlich viel Zeit sparen indem du einfach siehst, dass p eine Komposition von 2 disjunkten Transpositionen und somit Ordnung 2 hat. (Ähnliche Überlegung bei q).
>
> wenn ich das jetzt in Mengen angebe:
>
> [mm]M_P_q[/mm] = {I, q, [mm] q^2, q^3, q^4, q^5, q^6\} [/mm]
> korrekt? oder lasse ich [mm]p^6[/mm] = I aus der Menge raus?
>
> [mm]M_P_p[/mm] = {I, p, [mm] p^2\} [/mm]
> korrekt? oder lasse ich [mm]p^2[/mm] = I aus der Menge raus?
Du musst in beiden Fällen die Potenz, die die Identität ergibt, weglassen.
>
> jetzt habe ich angefangen 2 Gruppentafeln für p und q
> aufzustellen
> oder kommt das in eine Tafel?
>
> wie zeige ich denn überhaupt, dass die Mengen aller dieser
> Potenzen bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppen
> bilden?
Du musst die Gruppenaxiome prüfen... Die kennste doch, oder?
>
> LG Biene
Grüsse, Amaro
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alles klar...teil der aufgabe ist es ja eben die ganzen [mm] p^k [/mm] und [mm] q^k [/mm] zu berechnen
jopp kenne die Gruppenaxiome... mir fällt nur gerade für [mm] p^k [/mm] das assoziativgesetz schwer... hab ja bloß I, p und eventuell [mm] p^2 [/mm] = I
wie soll man das denn da machen?
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Hey
> alles klar...teil der aufgabe ist es ja eben die ganzen [mm]p^k[/mm]
> und [mm]q^k[/mm] zu berechnen
>
> jopp kenne die Gruppenaxiome... mir fällt nur gerade für
> [mm]p^k[/mm] das assoziativgesetz schwer... hab ja bloß I, p und
> eventuell [mm]p^2[/mm] = I
>
> wie soll man das denn da machen?
Nun, es soll ja eine Gruppe bez. der Komposition von Abbildungen sein.. wie du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst, ist diese Operation assoziativ.. :)
Grüsse, Amaro
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