Permutation: Transposition < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 31.01.2007 | | Autor: | uhu_84 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{1} [/mm] Permutation von {1, 2, 3, 4, 5, 6} gegeben durch
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}
[/mm]
Stelle die Permutation als Produkt von Transposition dar? |
Hallo miteinander
Ich habe eine Frage zu den Transpositionen. Ich habe folgendes aufgeschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & 6 } \pmat{ 2 & 5 }\pmat{ 3 & 4 }
[/mm]
Korrigiert wurde:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 5 } \pmat{ 5 & 6 }\pmat{ 3 & 4 }
[/mm]
Jetzt: ist die Reihenfolge bei den Transpositionen eindeutig?
Falls dem so ist, kann mir jemand bitte erklaeren, wieso die Korrektur richtig ist und meine Version falsch und wie ich die richtige Reihenfolge der einzelnen Transpositionen bekommen wuerde?
Uebrigens: Wäre das hier auch korrekt?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 5 } \pmat{ 5 & 2 }\pmat{ 4 & 3 }
[/mm]
und das hier, ist das auch eine korrekte Transposition?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & 6 } \pmat{ 5 & 2 }\pmat{ 3 & 4 }
[/mm]
Ich bin der Meinung, dass alle Moeglichkeiten korrekt sind. Oder liege ich da vollkommen falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Uhu,
> Sei [mm]x_{1}[/mm] Permutation von {1, 2, 3, 4, 5, 6} gegeben durch
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}[/mm]
>
> Stelle die Permutation als Produkt von Transposition dar?
> Hallo miteinander
>
> Ich habe eine Frage zu den Transpositionen. Ich habe
> folgendes aufgeschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 5 & 6 } \pmat{ 2 & 5 }\pmat{ 3 & 4 }[/mm]
>
> Korrigiert wurde:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 2 & 5 } \pmat{ 5 & 6 }\pmat{ 3 & 4 }[/mm]
>
> Jetzt: ist die Reihenfolge bei den Transpositionen
> eindeutig?
Eigentlich nein.Es ist egal, ob es heisst
[mm] \pmat{ 2 & 5 }\pmat{ 5 & 6 }\pmat{ 3 & 4 } [/mm] oder
[mm] \pmat{ 3 & 4 }\pmat{ 2 & 5 }\pmat{5 & 6 } [/mm] oder
[mm] \pmat{ 2 & 5 }\pmat{ 3 & 4 }\pmat{ 5 & 6 }
[/mm]
Das liegt daran, dass [mm] \pmat{ 3 & 4 } [/mm] zu den anderen Transpositionen Elementfremd sind, quasi einem anderen Zyklus angehören. Innerhalb eines Zyklus, ist die Reihenfolge wichtig, wobei z.B. [mm] \pmat{ 3 & 4 } [/mm] und [mm] \pmat{ 4 & 3 } [/mm] natürlich dasselbe sind.
>
> Falls dem so ist, kann mir jemand bitte erklaeren, wieso
> die Korrektur richtig ist und meine Version falsch und wie
> ich die richtige Reihenfolge der einzelnen Transpositionen
> bekommen wuerde?
Du nimmst eine Zahl und gehst von RECHTS NACH LINKS deine Transpositionen durch und schaust für jede Klammer einmal, auf was sie abbildet.Wenn die Zahl durch Abbildung verändert wurde, musst du im Weiteren mit der verändert Zahl kucken,ob sie weiterabgebildet wird. Klingt kompliziert, aber zwei Beispiele machen es (hoffentlich deutlich):
Beispiel mit 2:
Bei [mm] \pmat{ 3 & 4 } [/mm] passiert nichts mit der 2
bei [mm] \pmat{ 5 & 6 } [/mm] passiert nichts mit der 2
bei [mm] \pmat{ 2 & 5 } [/mm] wird die 2 auf 5 abgebildet (so soll es auch sein)
beispiel mit 6
Bei [mm] \pmat{ 3 & 4 } [/mm] passiert nichts mit der 6
bei [mm] \pmat{ 5 & 6 } [/mm] wird die 6 auf 5 abgebildet, von jetzt ab, musst du für die 5 kucken!
bei [mm] \pmat{ 2 & 5 } [/mm] wird die 5 auf 2 abgebildet
also insgesamt die 6 auf die 2 und so steht es auch in der Permutation.
>
> Uebrigens: Wäre das hier auch korrekt?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 6 & 5 } \pmat{ 5 & 2 }\pmat{ 4 & 3 }[/mm]
>
> und das hier, ist das auch eine korrekte Transposition?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 5 & 6 } \pmat{ 5 & 2 }\pmat{ 3 & 4 }[/mm]
>
> Ich bin der Meinung, dass alle Moeglichkeiten korrekt sind.
> Oder liege ich da vollkommen falsch?
Ja du liegst falsch,beide sind nicht richtig (siehe oben)
Jetzt verstanden wie man die Transpositionen liest?
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 31.01.2007 | | Autor: | uhu_84 |
Herzlichen Dank, jetzt ist mir alles klar. 
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